Exercícios Resolvidos de Área específica superficial

Elaboração própria

Prove, utilizando esferas, que, para uma mesma morfologia, quanto maior o tamanho da partícula, menores os valores de a m e a V .

Passo 1

Temos que provar que quanto maior o tamanho da partícula, ou seja, quanto maior o diâmetro d dela, menores vão ser a m e a V para ela. Lembrando as fórmulas deles:

a m = á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a m a s s a   d a   p a r t í c u l a

a V = á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a v o l u m e   d a   p a r t í c u l a

O lance de “para uma mesma morfologia”, é que se você está falando, por exemplo, de um cilindro de diâmetro d 1 , quando for analisar um diâmetro d 2 , tem que pegar um cilindro também, né! Não pode começar a frase em grego e acabar em espanhol; se começar em um idioma, tem que terminar naquele mesmo idioma. Da mesma forma, se começa analisando uma forma geométrica, faz toda a sua análise com aquela forma.

Show! Vamos precisar das fórmulas de área superficial ( A s u p ) e de volume ( V ) da esfera:

A s u p = π   .   d 2

V = π 6   . d 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora começar pelo a V , porque já temos as fórmulas para área superficial e volume da esfera. Vamos escrever o a V para uma esfera genérica de diâmetro d :

a V = á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a v o l u m e   d a   p a r t í c u l a

Substituindo:

a V = π   .   d 2 π 6   .   d 3

Simplificando:

a V = 1 1 6   .   d

a V = 6   . 1 d

Ou seja, repara que o a V é proporcional a 1 d , isto é, ele é inversamente proporcional ao diâmetro.

a V ∝ 1 d

E a constante de proporcionalidade ( K ), no caso da esfera, é 6 , já que, como já achamos:

a V = 6   . 1 d

Daí, quanto maior o diâmetro d da esfera, menor o a V , menor a relação área superficial por volume:

↑ d ↔   ↓ a V ↔   ↓ A s u p   V

Provado!

Passo 3

Já provamos o a V . Provar o a m agora é de boas. Já vimos, no exercício 2, que:

a m   .   ρ S = a V

Rearranjando:

a m = a V ρ S

Já calculamos que pra esfera:

a V = 6   .   1 d

Substituindo:

a m = 6 ρ S   .   1 d

Daí, assim como para o a V , o a m é inversamente proporcional ao diâmetro d . A única coisa que muda é a constante de proporcionalidade ( K ), que pro a m da esfera é:

K = 6 ρ S

Daí:

↑ d ↔   ↓ a m ↔   ↓ A s u p   m a s s a

Provamos também : )

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