Exercícios Resolvidos de Binômio de Newton

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Enunciado

Desenvolvendo-se o binômio P x = x + 1 5 , podemos dizer que a soma de seus coeficientes é:

a   16

b   24

c   32

d   40

e   48

Passo 1

Olááá, queridx alunx! Tudo bom?

Nesse exercício, nós precisamos saber a soma dos coeficientes daquele binômio. Podemos descobrir de três formas: calculando P ( 1 ) , usando o Triângulo de Pascal ou desenvolvendo o binômio.

1 ª forma (calculando P ( 1 ) ):

Sabemos que dado um polinômio P ( x ) , a soma dos coeficientes é P ( 1 ) :

P 1 = 1 + 1 5

P 1 = 2 5 = 32

Bem rápido, né?!

2 ª forma (Triângulo de Pascal):

Um binômio da forma a + b n tem n + 1 termos.

No nosso caso, n = 5 ,   a = x   e   b = 1 . Eu gosto de fazer da seguinte forma: como eu sei que tem 6 termos, eu começo assim:

        _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ?

Mas como 1 elevado a qualquer coisa é 1 :

        _ x ? +         _ x ? +         _ x ? +         _ x ? +         _ x ? +         _ x ?

Pronto, tenho seis termos. Agora eu preencho todas as potências de x , já que ele vem primeiro no binômio. As potências começam no expoente máximo, que é 5 e vão até o 0 :

        _ x 5 +         _ x 4 +         _ x 3 +         _ x 2 +         _ x 1 +         _ x 0

        _ x 5 +         _ x 4 +         _ x 3 +         _ x 2 +         _ x +         _

Cara, perceba que os coeficientes vão ser justamente os caras da linha 6 no Triângulo de Pascal.

Passo 2

Só faltam os coeficientes! E como temos 6 termos, é tranquilo olhar no Triângulo Pascal a sexta linha!

“Ah, mas eu não sei como é o Triângulo de Pascal!”

Vou te ensinar a construir. Primeiro, você começa com o número 1 :

1

Essa é a primeira linha. Lembre-se: a linha n tem n termos.

Vamos para a segunda linha, sabendo que o primeiro e o último termo de cada linha é o número 1 :

E agora, a gente constrói os termos! Dessa forma:

Então:

Bom, já temos 3 linhas, olha a quarta:

Perceba que:

Como deveria ser! A quinta linha:

Finalmente, a sexta linha:

Pronto! Esses termos da linha 6 são os nossos coeficientes. E como queremos a soma, basta soma-los:

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

Passo 3

3 ª forma (fórmula):

Sabendo que o um binômio da forma a + b n tem n + 1 termos, a fórmula do termo geral é

T k + 1 = n k a n - k b k

No nosso caso, n = 5 ,   a = x   e   b = 1 e 0 ≤ k ≤ n . Então vamos calcular termo a termo (lembrando que temos 5 ):

k = 0 → T 1 = 5 0 x 5 - 0 1 0

k = 1 → T 2 = 5 1 x 5 - 1 1 1

k = 2 → T 3 = 5 2 x 5 - 2 1 2

k = 3 → T 4 = 5 3 x 5 - 3 1 3

k = 4 → T 5 = 5 4 x 5 - 4 1 4

k = 5 → T 6 = 5 5 x 5 - 5 1 5

Então, temos os seguintes termos:

T 1 = 5 0 x 5

T 2 = 5 1 x 4

T 3 = 5 2 x 3

T 4 = 5 3 x 2

T 5 = 5 4 x

T 6 = 5 5

Então a expansão é:

T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 + T 6

5 0 x 5 + 5 1 x 4 + 5 2 x 3 + 5 3 x 2 + 5 4 x + 5 5

Como queremos a soma dos coeficientes, temos que somar esses números binomiais!

Passo 4

Agora vamos resolver os números binomiais:

n k = n ! k ! n - k !

Começando:

5 0 = 5 ! 0 ! 5 - 0 ! = 5 ! 5 ! = 1

Lembrando que 0 ! = 1 .

5 1 = 5 ! 1 ! 5 - 1 ! = 5 ! 4 ! = 5

5 2 = 5 ! 2 ! 5 - 2 ! = 5 ! 2 ! 3 ! = 5.4 2 ! = 10

5 3 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! = 5.4 2 ! = 10

5 4 = 5 ! 4 ! 5 - 4 ! = 5 ! 4 ! = 5

5 5 = 5 ! 5 ! 5 - 5 ! = 5 ! 5 ! = 1

Passo 5

Pronto! Agora substituímos:

x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 1

E a soma desses termos é 32 .

Resposta

c   32