Binômio de Newton

Teoria Completa

Introdução

FAAAAAALA AÍ, MESTRE DOS POLINÔMIOS! Hahahaha Cara, eu encho muito a sua bola!

Seguinte, vou começar te mostrando a motivação dessa teoria. Já estamos cansados de ver potências do tipo: a + b 2   e   a - b 2

a + b 3   e   a - b 3

“Af, Paula! Já estou exaustx de ver isso, sei de cor!”

Eu sei, meu anjo. Porém, suponha que eu te peça para desenvolver essa potência:

x + 1 4

Eita, agora complicou né?

Para isto temos o nosso Binômio de Newton, para nos ajudar a expandir potências dessa forma:

a + b n   o u   a - b n

Números Binomiais

Antes de eu te dar aquela fórmula marota, bora ter uma noção do que é um número binomial (bonito, né? Me acho quando falo isso hahaha).

É o seguinte, este termo está muito ligado à combinatória, que é um assunto futuro! Embora você ainda não tenha aprendido, já deve ter ouvido falar em “ n escolhe k ”. Essa frase é matematicamente representada desse jeito:

n k

Onde n ∈ N e 0 ≤ k ≤ n :

n k = n ! k ! n - k !

Onde x ! = x . x - 1 . x - 2 … 3.2 . 1

Se liga, que usaremos isso daqui a pouco!

Termo Geral

Primeiramente, quero te mostrar novamente os seguintes produtos notáveis:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Perceba que a nossa potência é 2 e a quantidade de termos é 3 . E ainda:

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Note que a potência é 3 e a quantidade de termos é 4 .

Portanto, podemos notar que quando temos uma potência da forma a + b n , teremos n + 1 termos. Legal, só queria que você visse essa observação, não só engolisse.

Não entrarei em detalhes, mas

Olha só! Apareceu nosso número binomial!

Bom, essa fórmula serve para a + b n ... E se você se deparar com a - b n ?

“Eu choro!”

Bobx você! Repare que:

a - b n = a + - b n

Bora substituir isso na fórmula:

T k + 1 = n k a n - k ( - b ) k

T k + 1 = n k a n - k - 1 k b k

T k + 1 = - 1 k n k a n - k b k

Pronto, chegamos na fórmula! Perceba que tem não problema você esquecer a próxima, é só pensar desse jeitinho!

Triângulo de Pascal

ANJOOO, já te adianto que esse subtítulo é apenas para ajudar você! Não precisa se matar para se dar bem com isso, afinal, você não é obrigado a usar o Triângulo de Pascal.

“Para que usamos?”

Bom, a gente usa para pegar os coeficientes das nossas potências. Vamos construí-lo e daí eu te mostro exemplos.

Eu particularmente gosto muito dele, a gente constrói da seguinte forma. Primeiro, você começa com o número 1 :

1

Essa é a primeira linha. Lembre-se: a linha n tem n termos.

Essa linha tem o coeficiente de a + b 0 = 1

Vamos para a segunda linha, sabendo que o primeiro e o último termo de cada linha são o número 1 :

Essa última linha que construímos tem os coeficientes de a + b 1 = 1 a + 1 b

E agora, a gente constrói os termos! Dessa forma:

Então:

Essa última linha que construímos agora tem os coeficientes de a + b 2 = 1 a 2 + 2 a b + 1 b 2

Bom, já temos 3 linhas, olha a quarta:

Adivinha só? A última linha tem os coeficientes de a + b 3 = 1 a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + 1 b 3

Perceba que:

Como deveria ser! Olha a quinta linha:

Esta possui os coeficientes de a + b 4 = 1 a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + 1 b 4

E a sexta:

Esta possui os coeficientes de a + b 5 = 1 a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + 1 b 5

Você pode sair fazendo quantas linhas você precisar!

Soma dos Coeficientes

Vamos supor que te pedem o seguinte numa questão:

D e t e r m i n e   a   s o m a   d o s   c o e f i c i e n t e s   d e   x + 2 5

Você pode expandir isso pela fórmula, pode usar o Triângulo de Pascal também, mas eu vou te dar uma dica que vai te ajudar muito nesse tipo de questão: basta chamar esse binômio de P ( x ) e calcular P ( 1 ) .

“De onde você tirou isso?”

Se liga, você já é mestre dos polinômios, então vou colocar aqui embaixo a forma geral de um polinômio:

P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Se substituímos x = 1 :

P 1 = a n + a n - 1 + … + a 2 + a 1 + a 0

Olha que lindo, temos justamente a soma dos coeficientes!!! Então, fica a dica!

No nosso caso:

P x = x + 2 5

P 1 = 1 + 2 5

P 1 = 3 5

P 1 = 243

Então a soma dos coeficientes é 243 .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Desenvolver as potências abaixo:

a   x + 3 4

b   2 x - y 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

FAAAALA AÍ, meu anjo! Tudo bom? Vamos finalmente colocar a mão na massa! Começando do começo:

a   x + 3 4

Bom, vou fazer esse item de duas formas: usando a fórmula geral e usando o Triângulo de Pascal (jeito que eu faço). Aí você vê com qual você se identifica mais.

1 ª forma (jeito que eu faço):

Um binômio da forma a + b n tem n + 1 termos.

No nosso caso, n = 4 ,   a = x   e   b = 3 . Eu gosto de fazer da seguinte forma: como eu sei que tem 5 termos, eu começo assim:

        _ x ? 3 ? +         _ x ? 3 ? +         _ x ? 3 ? +         _ x ? 3 ? +         _ x ? 3 ?

Pronto, tenho cinco termos. Agora eu preencho todas as potências de x , já que ele vem primeiro no binômio. As potências começam no expoente máximo, que é 4 e vão até o 0 :

        _ x 4 3 ? +         _ x 3 3 ? +         _ x 2 3 ? +         _ x 1 3 ? +         _ x 0 3 ?

Agora eu preencho o expoente de 3 , a ideia é a seguinte: o expoente é o número que falta para a soma dos expoentes chegarem a 4 . Por exemplo, no primeiro termo temos o expoente 4 , para chegar a 4 falta 0 , então:

        _ x 4 3 0 +         _ x 3 3 1 +         _ x 2 3 2 +         _ x 1 3 3 +         _ x 0 3 4

Perceba que se somarmos o expoente dos dois, a soma dá 4 ,e então está tudo certinho!

Passo 2

Só faltam os coeficientes! E como temos 5 termos, é tranquilo olhar no Triângulo Pascal a quinta linha!

“Ah, mas eu não sei como é o Triângulo de Pascal!”

Vou te ensinar a construir. Primeiro, você começa com o número 1 :

1

Essa é a primeira linha. Lembre-se: a linha n tem n termos.

Vamos para a segunda linha, sabendo que o primeiro e o último termo de cada linha são o número 1 :

E agora, a gente constrói os termos! Dessa forma:

Então:

Bom, já temos 3 linhas, olha a quarta:

Perceba que:

Como deveria ser! Finalmente, a quinta linha:

Passo 3

Prontinho! Vamos substituir:

        _ x 4 3 0 +         _ x 3 3 1 +         _ x 2 3 2 +         _ x 1 3 3 +         _ x 0 3 4

x 4 3 0 + 4 x 3 3 1 + 6 x 2 3 2 + 4 x 1 3 3 + x 0 3 4

E agora é só ajeitar as potências, sabendo que m 0 = 1 :

x 4 + 12 x 3 + 54 x 2 + 108 x + 81

Esse método não costuma ser longo, eu só quis esmiuçar bem para você entender o raciocínio!

Passo 4

2 ª forma (fórmula):

Sabendo que o um binômio da forma a + b n tem n + 1 termos, a fórmula do termo geral é

T k + 1 = n k a n - k b k

No nosso caso, n = 4 ,   a = x   e   b = 3 e 0 ≤ k ≤ n . Então vamos calcular termo a termo (lembrando que temos 5 ):

k = 0 → T 1 = 4 0 x 4 - 0 3 0

k = 1 → T 2 = 4 1 x 4 - 1 3 1

k = 2 → T 3 = 4 2 x 4 - 2 3 2

k = 3 → T 4 = 4 3 x 4 - 3 3 3

k = 4 → T 5 = 4 4 x 4 - 4 3 4

Então, temos os seguintes termos:

T 1 = 4 0 x 4

T 2 = 4 1 x 3 3

T 3 = 4 2 x 2 9

T 4 = 4 3 x 27

T 5 = 4 4 81

Passo 5

Agora vamos resolver os números binomiais:

n k = n ! k ! n - k !

Começando:

4 0 = 4 ! 0 ! 4 - 0 ! = 4 ! 4 ! = 1

Lembrando que 0 ! = 1 .

4 1 = 4 ! 1 ! 4 - 1 ! = 4 ! 3 ! = 4

4 2 = 4 ! 2 ! 4 - 2 ! = 4 ! 2 ! 2 ! = 4.3 2 ! = 6

4 3 = 4 ! 3 ! 4 - 3 ! = 4 ! 3 ! = 4

4 4 = 4 ! 4 ! 4 - 4 ! = 4 ! 4 ! = 1

Passo 6

Pronto! Agora substituímos:

T 1 = x 4

T 2 = 4 . x 3 3

T 3 = 6 . x 2 9

T 4 = 4 . x 27

T 5 = 81

Finalmente:

T 1 = x 4

T 2 = 12 x 3

T 3 = 54 x 2

T 4 = 108 x

T 5 = 81

Finalizando:

x 4 + 12 x 3 + 54 x 2 + 108 x + 81

Passo 7

a   2 x - y 5

Bom, vou fazer esse item de duas formas: usando a fórmula geral e usando o Triângulo de Pascal (jeito que eu faço). Aí você vê com qual você se identifica mais.

1 ª forma (jeito que eu faço):

Um binômio da forma a + b n tem n + 1 termos.

“Mas aqui nós temos um - , não um +

Eu sei, mas olha só o que podemos fazer: 2 x - y = 2 x + - y

No nosso caso, n = 5 ,   a = 2 x   e   b = - y . Eu gosto de fazer da seguinte forma: como eu sei que tem 6 termos, eu começo assim:

        _ ( 2 x ) ? ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) ? ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) ? ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) ? ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) ? ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) ? ( - y ) ?

Pronto, temos seis termos. Agora eu preencho todas as potências de ( 2 x ) , já que ele vem primeiro no binômio. As potências começam no expoente máximo, que é 5 e vão até o 0 :

        _ ( 2 x ) 5 ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) 4 ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) 3 ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) 2 ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) 1 ( - y ) ? +         _ ( 2 x ) 0 ( - y ) ?

Agora eu preencho o expoente de ( - y ) , a ideia é a seguinte: o expoente é o número que falta para a soma dos expoentes chegarem a 5 . Por exemplo, no primeiro termo temos o expoente 5 , para chegar a 5 falta 0 , então:

        _ ( 2 x ) 5 ( - y ) 0 +         _ ( 2 x ) 4 ( - y ) 1 +         _ ( 2 x ) 3 ( - y ) 2 +         _ ( 2 x ) 2 ( - y ) 3 +         _ ( 2 x ) 1 ( - y ) 4 +         _ ( 2 x ) 0 ( - y ) 5

Perceba que se somarmos o expoente dos dois, a soma dá 5 ,e então está tudo certinho!

Passo 8

Só faltam os coeficientes! E como temos 6 termos, vamos olhar no Triângulo Pascal a sexta linha!

“Ah, mas eu não sei como é o Triângulo de Pascal!”

Bom, já construímos até a linha 5 :

Vamos fazer a linha 6 :

Passo 9

Prontinho! Vamos substituir:

        _ ( 2 x ) 5 ( - y ) 0 +         _ ( 2 x ) 4 ( - y ) 1 +         _ ( 2 x ) 3 ( - y ) 2 +         _ ( 2 x ) 2 ( - y ) 3 +         _ ( 2 x ) 1 ( - y ) 4 +         _ ( 2 x ) 0 ( - y ) 5

( 2 x ) 5 ( - y ) 0 + 5 ( 2 x ) 4 ( - y ) 1 + 10 ( 2 x ) 3 ( - y ) 2 + 10 ( 2 x ) 2 ( - y ) 3 + 5 ( 2 x ) 1 ( - y ) 4 + ( 2 x ) 0 ( - y ) 5

E agora é só ajeitar as potências, sabendo que m 0 = 1 e - m e x p o e n t e   p a r = m e x p o e n t e   p a r :

32 x 5 - 80 x 4 y + 80 x 3 y 2 - 40 x 2 y 3 + 10 x y 4 - y 5

Passo 10

2 ª forma (fórmula):

Sabendo que o um binômio da forma a - b n tem n + 1 termos, a fórmula do termo geral é

T k + 1 = - 1 k n k a n - k b k

No nosso caso, n = 5 ,   a = 2 x   e   b = y e 0 ≤ k ≤ n . Então vamos calcular termo a termo (lembrando que temos 6 ):

k = 0 → T 1 = - 1 0 5 0 ( 2 x ) 5 - 0 y 0

k = 1 → T 2 = - 1 1 5 1 2 x 5 - 1 y 1

k = 2 → T 3 = - 1 2 5 2 2 x 5 - 2 y 2

k = 3 → T 4 = - 1 3 5 3 2 x 5 - 3 y 3

k = 4 → T 5 = - 1 4 5 4 2 x 5 - 4 y 4

k = 5 → T 6 = - 1 5 5 5 ( 2 x ) 5 - 5 y 5

Então, temos os seguintes termos:

T 1 = 5 0 32 x 5

T 2 = - 5 1 16 x 4 y

T 3 = 5 0 8 x 3 y 2

T 4 = - 5 0 4 x 2 y 3

T 5 = 5 0 2 x y 4

T 6 = - 5 0 y 5

Passo 11

Agora vamos resolver os números binomiais:

n k = n ! k ! n - k !

Começando:

5 0 = 5 ! 0 ! 5 - 0 ! = 5 ! 5 ! = 1

Lembrando que 0 ! = 1 .

5 1 = 5 ! 1 ! 5 - 1 ! = 5 ! 4 ! = 5

5 2 = 5 ! 2 ! 5 - 2 ! = 5 ! 2 ! 3 ! = 5.4 2 ! = 10

5 3 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! = 5.4 2 ! = 10

5 4 = 5 ! 4 ! 5 - 4 ! = 5 ! 4 ! = 5

5 5 = 5 ! 5 ! 5 - 5 ! = 5 ! 5 ! = 1

Passo 12

Pronto! Agora substituímos:

T 1 = 32 x 5

T 2 = - 5.16 x 4 y

T 3 = 10.8 x 3 y 2

T 4 = - 10.4 x 2 y 3

T 5 = 5.2 x y 4

T 6 = - y 5

Finalmente:

T 1 = 32 x 5

T 2 = - 80 x 4 y

T 3 = 80 x 3 y 2

T 4 = - 40 x 2 y 3

T 5 = 10 x y 4

T 6 = - y 5

Finalizando:

32 x 5 - 80 x 4 y + 80 x 3 y 2 - 40 x 2 y 3 + 10 x y 4 - y 5

Resposta

a   x 4 + 12 x 3 + 54 x 2 + 108 x + 81

b   32 x 5 - 80 x 4 y + 80 x 3 y 2 - 40 x 2 y 3 + 10 x y 4 - y 5

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Desenvolvendo-se o binômio P x = x + 1 5 , podemos dizer que a soma de seus coeficientes é:

a   16

b   24

c   32

d   40

e   48

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Olááá, queridx alunx! Tudo bom?

Nesse exercício, nós precisamos saber a soma dos coeficientes daquele binômio. Podemos descobrir de três formas: calculando P ( 1 ) , usando o Triângulo de Pascal ou desenvolvendo o binômio.

1 ª forma (calculando P ( 1 ) ):

Sabemos que dado um polinômio P ( x ) , a soma dos coeficientes é P ( 1 ) :

P 1 = 1 + 1 5

P 1 = 2 5 = 32

Bem rápido, né?!

2 ª forma (Triângulo de Pascal):

Um binômio da forma a + b n tem n + 1 termos.

No nosso caso, n = 5 ,   a = x   e   b = 1 . Eu gosto de fazer da seguinte forma: como eu sei que tem 6 termos, eu começo assim:

        _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ? +         _ x ? 1 ?

Mas como 1 elevado a qualquer coisa é 1 :

        _ x ? +         _ x ? +         _ x ? +         _ x ? +         _ x ? +         _ x ?

Pronto, tenho seis termos. Agora eu preencho todas as potências de x , já que ele vem primeiro no binômio. As potências começam no expoente máximo, que é 5 e vão até o 0 :

        _ x 5 +         _ x 4 +         _ x 3 +         _ x 2 +         _ x 1 +         _ x 0

        _ x 5 +         _ x 4 +         _ x 3 +         _ x 2 +         _ x +         _

Cara, perceba que os coeficientes vão ser justamente os caras da linha 6 no Triângulo de Pascal.

Passo 2

Só faltam os coeficientes! E como temos 6 termos, é tranquilo olhar no Triângulo Pascal a sexta linha!

“Ah, mas eu não sei como é o Triângulo de Pascal!”

Vou te ensinar a construir. Primeiro, você começa com o número 1 :

1

Essa é a primeira linha. Lembre-se: a linha n tem n termos.

Vamos para a segunda linha, sabendo que o primeiro e o último termo de cada linha é o número 1 :

E agora, a gente constrói os termos! Dessa forma:

Então:

Bom, já temos 3 linhas, olha a quarta:

Perceba que:

Como deveria ser! A quinta linha:

Finalmente, a sexta linha:

Pronto! Esses termos da linha 6 são os nossos coeficientes. E como queremos a soma, basta soma-los:

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

Passo 3

3 ª forma (fórmula):

Sabendo que o um binômio da forma a + b n tem n + 1 termos, a fórmula do termo geral é

T k + 1 = n k a n - k b k

No nosso caso, n = 5 ,   a = x   e   b = 1 e 0 ≤ k ≤ n . Então vamos calcular termo a termo (lembrando que temos 5 ):

k = 0 → T 1 = 5 0 x 5 - 0 1 0

k = 1 → T 2 = 5 1 x 5 - 1 1 1