Repita o Exercício 9 usando x_0 = (pi)/(6) .

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Inicialmente, lembrem-se que a função f ( x ) pode ser reescrita da seguinte forma:

f ( x ) = P_n ( x ) + R_n ( x )

Sendo P_n ( x ) o polinômio de Taylor de grau n e R_n ( x ) o erro.

O polinômio de Taylor para n = 2 e x_0 = (pi)/(6) é dado por:

P_2 ( x ) = f ( x_0 ) + f ' ( x_0 ) ( x - x_0 ) + (f ' ' ( x_0 ))/(2) ( x - x_0 )^2 =

= e^(x_0) c o s ( x_0 ) + ( e^(x_0) c o s ( x_0 ) - e^(x_0) s e n ( x_0 ) ) ( x - x_0 ) - (2 e^(x_0) s e n ( x_0 ))/(2) ( x - x_0 )^2

= e^((pi)/(6)) c o s ( (pi)/(6) ) + ( e^((pi)/(6)) c o s ( (pi)/(6) ) - e^((pi)/(6)) s e n ( (pi)/(6) ) ) ( x - (pi)/(6) ) - e^((pi)/(6)) s e n ( 0 ) ( x - 0 )^2

≃ 1,46193 + 0,61788 ( x - (pi)/(6) ) - 0,84405 ( x - (pi)/(6) )^2

Na letra (a), temos que:

P_2 ( 0,5 ) = 1,46193 + 0,61788 ( 0,5 - (pi)/(6) ) - 0,84405 ( 0,5 - (pi)/(6) )^2 ≃ 1,446879 e f ( 0,5 ) = e^(0,5) c o s ( 0,5 ) ≃ 1,446889

Para encontrar um limite superior ao erro, devemos calcular R_2 ( x ) , para x = 0,5 :

R_2 ( x ) = (f^(( n + 1 )) ( xi ))/(( n + 1 ) !) ( x - x_0 )^(n + 1) => R_2 ( 0,5 ) = (f^3 ( xi ))/(3 !) ( 0,5 - (pi)/(6) )^3 ≃ (- 2 e^(xi) ( s e n ( xi ) - c o s ( xi ) ))/(6) ( - 0.02360 )^3

≃ (- e^(xi) ( s e n ( xi ) - c o s ( xi ) ))/(3) ( - 0.00001 )

Para um valor de xi entre (pi)/(6) e x = 0,5 , cujo erro é máximo, podemos afirmar que | f ( 0,5 ) - P_2 ( 0,5 ) | <= 2,87573 * 1 0^(- 6) .

Já o erro real é dado por:

E r r o = f ( 0,5 ) - P_2 ( 0,5 ) ≃ 1,446889 - 1,446879 = 0,00001

Na letra (b), devemos…

Passo 2

Na letra (c), basta resolvermos a integral:

int_0^1 f ( x ) d ( x ) ≃ int_0^1 P_2 ( x ) d ( x ) = int_0^1 1,46193 + 0,61788 ( x - (pi)/(6) ) - 0,84405 ( x - (pi)/(6) )^2 d ( x )

≃ 1,37654

Na letra (d), podemos encontrar um limite superior ao erro da seguinte forma:

| int_0^1 f ( x ) d ( x ) - int_0^1 P_2 ( x ) d ( x ) | <= int_0^1 | R_2 ( x ) | d ( x ) ≃ 0,05470

Para encontrar o erro real, devemos calcular o valor real da integral de f ( x ) no intervalo [ 0,1 ] :

int_0^1 f ( x ) d ( x ) = int_0^1 e^x c o s ( x ) d ( x ) ≃ 1,37803

Assim, obtemos:

E r r o = int_0^1 f ( x ) d ( x ) - int_0^1 P_2 ( x ) d ( x ) ≃ 1,37803 - 1,37654 ≃ 0,00149

Resposta

a. f ( 0,5 ) ≃ P_2 ( 0,5 ) ≃ 1,446879 , limitante de 2,87573 * 1 0^(- 6) e erro real de 0,00001

c. int_0^1 f ( x ) d ( x ) ≃ int_0^1 P_2 ( x ) d ( x ) ≃ 1,37654

d. Limitante de 0,05470 e erro real de 0,00149