Interpolação

Resumo

Olá, se você chegou até aqui é porque está precisando aprender sobre Interpolação, então vamos logo para o que tanto te interessa haha

Imagina que estamos vendo um carro andando e queremos marcar a distância percorrida por esse carro a cada instante de tempo. Concorda comigo que podemos montar uma tabela assim:

Tabela de tempo e distância percorrida
Tabela de tempo e distância percorrida

e ir anotando o tempo e a distância percorrida em cada tempo?

Ao final nós teremos um conjunto de pontos $(x,y)=(tempo,distância)$.

Suponha que a gente fez essas marcações e nossa tabela ficou assim:

Tabela de tempo e distância percorrida com medições
Tabela de tempo e distância percorrida com medições

Se eu pergunto assim: Qual a distância percorrida no tempo $2$ ? Rapidinho a gente responde né? Foi $5$. Mas se eu pergunto a distância percorrida no tempo $5$ ? Aí o bicho pega né haha

É aí que entra nosso assunto de hoje, a interpolação. Basicamente, todo conjunto de pontos pode ser aproximado por uma função. Na interpolação é justamente isso que vamos fazer, vamos pegar esse conjunto de pontos e aproximar ele por uma função.

A interpolação mais comum é a interpolação polinomial. Nessa interpolação nós vamos pegar o nosso conjunto de dados e aproximar ele por uma função polinomial. Mas como fazemos isso?

Vamos lá com um exemplo. Considere o conjunto de pontos abaixo:

conjunto de pontos
conjunto de pontos

Para obtermos a interpolação polinomial desse conjunto vamos fazer o seguinte:

Como nós temos três pontos, a nossa função polinomial será de grau $2$. Isso é regra tá bom? O grau na função de interpolação é sempre o número de pontos menos $1$, beleza?

função de interpolação polinomial
função de interpolação polinomial

Agora o que temos que fazer é achar quem serão os coeficientes $a_0$, $a_1$ e $a_2$. Para isso vamos pegar cada ponto $(x,f(x))$ que temos e substituir eles nessa função $p_2(x)$, desse jeito aqui:

pontos substituídos na função
pontos substituídos na função

E notou que agora nós temos um sitema linear pra resolver? E é isso que vamos fazer agora, resolver o sistema linear e achar os coeficientes:

sistema linear formado
sistema linear formado

Substituindo $a_0$ na equação $(I)$:

substituição de
substituição de

Agora substituindo $a_0$ e a expressão para $a_1$ na equação $(III)$:

substituição de
substituição de

E por último, vamos substituir $a_2$ na equação $(IV)$:

substituição de
substituição de

E assim, temos que:

função de interpolação polinomial
função de interpolação polinomial

E é assim que fazemos uma interpolação polinomial. Tranquilo não é?

Vou deixar logo aqui em seguida um vídeo sobre essa introdução rápida de interpolação, feito pela equipe incrível do Responde Aí:

Agora que você já viu essa introdução rapidinha você já está preparado para continuar e aprender tudo sobre interpolação. Aqui no Responde Aí nós temos todo esse conteúdo que você precisa, dá uma olhada no nosso Raio-X aqui embaixo 👇🏽 e veja tudo que nós podemos te oferecer 😉

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