Suponha que f ∈ C [ a , b ] e f ' ( x ) existam em ( a , b ) . Mostre que se f ' ( x ) ≠ 0 para todo x em ( a , b ) , então pode existir no máximo um número p em [ a , b ] com f ( p ) = 0 .

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Bom, sabemos que a função f é contínua em [ a , b ] e derivável em ( a , b ) . Pelo Teorema do Valor Médio, nessas condições, um número c ∈ ( a , b ) existe, tal que:

f ' ( c ) = f ( b )   -   f ( a ) b   -   a

Passo 2

Vamos supor então que dois números p e q estão contidos em [ a , b ] com p ≠ q e f ( p ) = f ( q ) = 0 . Pelo Teorema do Valor Médio, existe um ξ ∈ ( p , q ) com f ( q ) - f ( p ) = f ' ( ξ ) ( q - p ) . Mas, f ( q ) - f ( p ) = 0 e p ≠ q . Então necessariamente f ' ( ξ ) = 0 , para que a igualdade seja satisfeita.

Ou seja, para dois números p , q ∈ [ a , b ] com p ≠ q e f ( p ) = f ( q ) = 0 , provamos que existe um número ξ no intervalo tal que f ' ( ξ ) não é diferente de 0.

Resposta

No desenvolvimento.