Para cada uma das seguintes matrizes, determine se é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontre P e D com A = P D P - 1 .

a) A = 4 - 1 - 4 1

b) A = 2 - 1 - 1 2

c) A = 2 0 1 0 1 0 1 0 2

d) A = 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para verificar se é diagonalizável e se ela for encontre P e D

a) A = 4 - 1 - 4 1

b) A = 2 - 1 - 1 2

c) A = 2 0 1 0 1 0 1 0 2

d) A = 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Fica tranquilo que vamos resolver ela juntos.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

A = 4 - 1 - 4 1 , temos

4 - 1 - 4 1 - λ 0 0 λ

4 - λ - 1 - 4 1 - λ

λ 2 - 5 λ → λ 1 = 5   e   λ 2 = 0

Sendo ela diagonalizável, ficando com,

P = - 1 1 4 1 1       e     D = 5 0 0 0

Na letra (b) sabendo que,

A = 2 - 1 - 1 2 , temos

2 - 1 - 1 2 - λ 0 0 λ

2 - λ - 1 - 1 2 - λ

λ 2 - 4 λ + 3 → λ 1 = 3   e   λ 2 = 1

Sendo ela diagonalizável, ficando com,

P = 1 - 1 1 1       e     D = 1 0 0 3

Passo 3

Na letra (c) sabendo que,

A = 2 0 1 0 1 0 1 0 2 , temos

2 0 1 0 1 0 1 0 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

2 - λ 0 1 0 1 - λ 0 1 0 2 - λ

- λ 3 + 5 λ 2 - 7 λ - 3 → λ λ 2 + 5 λ - 7 = 3

Utilizando bhaskara temos,

λ 1 = 3 ,     λ 2 = 1 ,     λ 3 = 1

Sendo ela diagonalizável temos,

P = 1 - 1 0 0 0 1 1 1 0     e       D = 3 0 0 0 1 0 0 0 1

E por fim na letra (d) sabendo que,

A = 1 1 1 1 1 0 1 0 1 , temos

2 0 1 0 1 0 1 0 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

  2 - λ 1 1 0 3 - λ 1 0 0 2 - λ

- λ 3 + 7 λ 2 - 16 λ + 12

λ - λ 2 + 7 λ - 16 = 1

Utilizando bhaskara temos,

λ 1 = 1 + 2 ,     λ 2 = 1 - 2 ,     λ 3 = 1

Sendo ela diagonalizável temos,

P = 2 - 2 0 0 1 - 1 1 1 1     e       D = 1 + 2 0 0 0 1 - 2 0 0 0 1

Viu, vencemos está junto. Até a próxima meus queridos.

Resposta

a) P = - 1 1 4 1 1       e     D = 5 0 0 0

b)   P = 1 - 1 1 1       e     D = 1 0 0 3

c) P = 1 - 1 0 0 0 1 1 1 0     e       D = 3 0 0 0 1 0 0 0 1

d) P = 2 - 2 0 0 1 - 1 1 1 1     e       D = 1 + 2 0 0 0 1 - 2 0 0 0 1