Para cada uma das seguintes matrizes, determine se é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontre P e D com A = P D P - 1 .

a) A = 2 1 0 1

b) A = 2 1 1 2

c) A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2

d) A = 2 1 1 0 3 1 0 0 2

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para verificar se é diagonalizável e se ela for encontre P e D

a) A = 2 1 0 1

b) A = 2 1 1 2

c) A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2

d) A = 2 1 1 0 3 1 0 0 2

Fica tranquilo que vamos resolver ela juntos.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

A = 2 1 0 1 , temos

2 1 0 1 ,   - λ 0 0 λ

2 - λ 1 0 1 - λ

λ 2 - 3 λ + 2 → λ 1 = 2   e   λ 2 = 1

Sendo ela diagonalizável, ficando com,

P = 1 1 2 0 1      

  D = 2 0 0 1

Na letra (b) sabendo que,

A = 2 1 1 2 , temos

2 1 1 2 - λ 0 0 λ

2 - λ 1 1 2 - λ

λ 2 - 4 λ + 3 → λ 1 = 3   e   λ 2 = 1

Sendo ela diagonalizável, ficando com,

P = 1 1 2 1 2 1      

  D = 3 0 0 1

Passo 3

Na letra (c) sabendo que,

A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 , temos

2 1 1 1 2 1 1 1 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

2 - λ 1 1 1 2 - λ 1 1 1 2 - λ

- λ 3 + 6 λ 2 - 11 λ + 6 → λ - λ 2 + 5 λ - 11 = - 6

Utilizando bhaskara temos,

λ 1 = - 6 ,     λ 2 = 2 ,     λ 3 = 1

Sendo ela diagonalizável temos,

P = 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 1    

      D = - 6 0 0 0 2 0 0 0 1

E por fim na letra (d) sabendo que,

A = 2 1 1 0 3 1 0 0 2 , temos

2 0 1 0 1 0 1 0 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ  

  2 - λ 1 1 0 1 - λ 1 0 0 2 - λ

- λ 3 + 3 λ 2 - λ - 1

λ - λ 2 + 7 λ - 16 = 1

Utilizando bhaskara temos,

λ 1 = 1 ,     λ 2 = - 3 + 13 2 ,     λ 3 = - 3 - 13 2

Sendo ela diagonalizável temos,

P = 2 1 1 0 3 1 0 0 2    

      D = 1 0 0 0 - 3 + 13 2 0 0 0 - 3 + 13 2 1

Viu, vencemos está junto. Até a próxima meus queridos.

Resposta

a) P = 1 1 2 0 1       e     D = 2 0 0 1

b)   P = 1 1 2 1 2 1       e     D = 3 0 0 1

c) P = 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 1     e       D = - 6 0 0 0 2 0 0 0 1

d) P = 2 1 1 0 3 1 0 0 2     e       D = 1 0 0 0 - 3 + 13 2 0 0 0 - 3 + 13 2 1