Calcular u 2 ,   u 3 ,   u 4 ,   u 5 resolvendo a equação de diferenças:

u n + 2   + 4 u n + 1 + u n = n           ,

Com as condições de contorno u 1 = 0 e u 6 = 1 , usando um método a sua escolha. Escreva (*) para n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ) .

Passo 1

Faaala, galerinha! Questãozinha tranquila pra gente matar rápido hahaha. Primeiramente o enunciado nos para usar de 1 até 4. Com essa informação, podemos substituir os valores de n na equação para obtermos 4 equações (uma para cada valor de n ):

Para n = 1 :

u 3 + 4 u 2 + u 1 = 1

Para n = 2 :  

u 4 + 4 u 3 + u 2 = 2

Para n = 3 :

u 5 + 4 u 4 + u 3 = 3

Para n = 4 :

u 6 + 4 u 5 + u 4 = 4

Passo 2

Chegamos a um sistema de 4 equações, mas com 6 incógnitas e agora? Basta lembrarmos que o enunciado nos deu o valor de duas delas (Ufa!), portanto basta substituir esses valores nas equações para chegarmos a um sistema de 4 equações e 4 incógnitas:

Substituindo u 1 =   0 e u 6 = 1 no sistema, teremos:

u 3 + 4 u 2 + 0 = 1

u 4 + 4 u 3 + u 2 = 2

u 5 + 4 u 4 + u 3 = 3

1 + 4 u 5 + u 4 = 4

Agora, podemos usar um método qual quer para resolver esse sistema. Nesse caso, vamos fazer usando o Método de Gauss:

  4 1 0 0 1 4 1   0 0 1 4 1 0 0 1 4   .   u 2 u 3 u 4 u 5   =   1 2 3 3  

Podemos reescreve-la da seguinte maneira:

  4 1 0 0 |     1 1 4 1   0 |   2 0 1 4 1 |     3 0 0 1 4 |     3  

Fazendo L 2 - 1 4 .   L 1 → L 2 , teremos:

  4 1 0 0 |     1 0 15 4 1   0 |   7 4 0 1 4 1 |     3 0 0 1 4 |     3  

Fazendo L 3 - 4 15 .   L 2 → L 3 , teremos:

  4 1 0 0 |     1 0 15 4 1   0 |   7 4 0 0 56 15 1   | 38 15 0 0 1 4 |     3  

Fazendo L 4 - 15 56 .   L 3 → L 4 , teremos:

  4 1 0 0 |         1 0 15 4 1   0 |       7 4 0 0 56 15 1 |   38 15 0 0 0 209 56 |   37 28  

Com isso ficamos com o seguinte sistema:

4 u 2 + u 3 = 1

15 4 u 3 + u 4 = 7 4

56 15 u 4 + u 5 = 38 15

209 56 u 5 = 37 28  

Pronto, agora substituindo os valores chegaremos a:

u 2 = 0.1 7225

u 3 = 0 . 3110

u 4 = 0.5837

u 5 = 0.3541

Portanto, nossa solução será:

u ≅ 0 ,   0.17225 ,   0.3110 ,   0.5837 ,   0.3541 t

E aqui finalizamos a questão, galerinha. Até a próxima! 😊

Resposta

u ≅ 0 ,   0.17225 ,   0.3110 ,   0.5837 ,   0.3541 t