Calcule o erro E para as aproximações no Exercício 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Se uma função f ( x ) é aproximada por um polinômio P ( x ) em um intervalo [ a , b ] , então, o erro de aproximação é dado por

E =   ∫ a b f x - p x 2   d x

Tendo isso em mente, vamos agora calcular os erros do exercício 3.

A – Dada a função f x = x 2 + 3 x + 2 no intervalo [ 0,1 ] , temos que a aproximação polinomial é dada por

P 2 x = 1,000009 x 2 + 2,999991 x + 2,000002

Idealmente, a segunda aproximação de grau polinomial tem que ser a mesma de f ( x ) , mas devido ao erro no processo de integração, nós temos uma pequena diferença no resultado. Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

E x = ∫ 0 1 x 2 + 3 x + 2 - 1,000009 x 2 + 2,999991 x + 2,000002

Logo, o erro será igual a

E x = 7 × 10 - 13

Passo 2

B – Dada a função f x = x 3 no intervalo [ 0,2 ] , e a aproximação polinomial é dada por

P 2 x = 3,0 x 2 - 2,4 x + 0,4

O erro de aproximação é igual a

E x =   ∫ 0 2 x 3 - 3,0 x 2 - 2,4 x + 0,4 2   d x

O erro será igual

E x = 0,0457

C – A função é igual a f x = 1 x no intervalo [ 1,3 ] , e a sua aproximação polinomial é dada por

P 2 x = 0,158878 x 2 - 0,931351 x + 1,72353

Logo, o erro de aproximação é igual a (observe que o processo é o mesmo). Logo, o erro de aproximação é igual a

E x = ∫ 1 3 1 x - 0,158878 x 2 - 0,931351 x + 1,72353 2   d x

Então, o erro será igual a

E x = 0,0078  

Passo 3

D – A função é igual a f x = e x no intervalo 0,2 , e a aproximação polinomial é igual a

P 2 x = 1,45896 x 2 + 0,0082077 x + 1,16717

Logo, o erro de aproximação é igual a

E x =   ∫ 0 2 e x - 1,45896 x 2 + 0,082077 x + 1,16717 2   d x

Logo, o erro será igual a

E x = 0,062  

E – A função dada por f x = 1 2 cos ⁡ ( x ) + 1 3 sin ⁡ ( 3 x ) no intervalo [ 0,1 ] e sua aproximação polinomial é dada por

P 2 x =   - 0,737518 x 2 + 0,829193 x + 0,488005

O erro de aproximação é dado por

E x =   ∫ 0 1 1 2 cos ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 3 x - - 0,737518 x 2 + 0,829193 x + 0,488005 2 d x

Que é igual a

E x = 0,0094109  

Passo 4

F – A função é f x = x log ⁡ x no intervalo [ 1,3 ] , e a aproximação polinomial é igual a

P 2 x = 0,259771 x 2 + 0,627583 x - 0,908962

Logo, o erro de aproximação é igual a

E x =   ∫ 1 3 x log ⁡ x   - 0,259771 x 2 + 0,627583 x - 0,908962 2   d x

Logo, é igual a

E x = 0,000076294

Resposta

a )   E x = 7 × 10 - 13

b )   E x = 0,045 7

c )   E x = 0,0078  

d )   E x = 0,062  

e )   E x = 0,0094109  

f )   E x = 0,000076294