Calcule os números de condição das seguintes matrizes em relação a - ∞ .

A. 0.03 58.9 5.31 - 6.10 B. 58.9 0.03 - 6.10 5.31

C. 1 - 1 - 1 0 1 - 1 0 0 - 1 D. 0.04 0.01 - 0.01 0.2 0.5 - 0.2 1 2 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O número de condição de uma matriz A não singular relativa para a norma é dada por

K A = A ∙ A - 1

A norma da matriz A com respeito a norma ∙ ∞ é igual a

A ∞ = max 1 ≤ i ≤ n ⁡ ∑ j = 1 n a i j

A – Para a letra A, a matriz é a seguinte:

A =   0.03 58.9 5.31 - 6.10  

Logo, sua matriz inversa será igual a

A - 1 = 0.019492 0.188214 0.016968 - 0.000096

As normas são dadas por

A ∞ = max ⁡ 0.03 + 58.9 ,   5.31 + - 6.31 = 58.93

A - 1 ∞ = max ⁡ 0.019492 + 0.016968 , 0.016968 + - 0.000096   = 0.2077

Com isso, K ( A ) é igual a

K A = 12 , 240

Passo 2

B – Dada a seguinte matriz

A = 58.9 0.03 - 6.10 5.31

Com isso, sua inversa é dada por (bem como um algoritmo, passo a passo bem definido 😊)

A - 1 = 0.016968 - 0.000096 0.019492 0.188214

As normas serão dadas por

A ∞ = max ⁡ 0.03 + 58.9 ,   5.31 + - 6.31 = 58.93

A - 1 ∞ = max ⁡ 0.019492 + 0.016968 , 0.016968 + - 0.000096   = 0.2077

Como as modificações foram apenas na troca de linhas, logo, o resultado de K A é o mesmo, com isso, nós temos

K A = 12 , 240

Passo 3

C – Seguindo o mesmo raciocínio análogo e a mesma “receita de bolo/algoritmo” nós temos a seguinte matriz

A =   1 - 1 - 1 0 1 - 1 0 0 - 1

Sua inversa é dada por

A - 1 = 1 1 - 2 0 1 - 1 0 0 - 1

Portanto, suas normas são iguais a:

A ∞ = max ⁡ 1 + - 1 + - 1 ,   0 + 1 + - 1 ,   0 + 0 + - 1 = 3

A - 1 ∞ = max ⁡ ` 1 + 1 + - 2 ,   0 + 1 + - 1 ,   0 + 0 + - 1 = 4  

Com isso, K ( A ) é igual a

K A = 3 ∙ 4 = 12

Passo 4

D – Dada a matriz

A = 0.04 0.01 - 0.01 0.2 0.5 - 0.2 1 2 4  

Sua inversa é dada por

A - 1 = 27.5862 - 0.689655 0.0344828 - 11.4943 1.95402 0.0689655 - 1.14943 - 0.804598 0.206897

As normas são iguais a

A ∞ = max ⁡ 0.04 + 0.0 1 + - 0.0 1 ,   0 . 2 + 0.5 + - 0.2 ,   1 . 0 + 2 . 0 + 4.0 = 7.0

A - 1 ∞ = max ⁡ ` 27.5862 + - 0.689655 + 0.0344828 ,   - 11.4943 + 1 . 95402 + 0.0689655 ,   - 1.14943 + - 0 . 804598 + 0.206897 = 28.3103378

Isto nos fornece

K A = 198,1723

Resposta

a )   12.24

b )   12.24

c )   12

d )   198,1723