No Capítulo 3, vimos que o processo iterativo:

x k + 1 = x k 2 - a x k ,   a ≠ 0 .

pode ser usado para obter 1 a .

A fórmula acima vale também para refinar a inversa A - 1 de uma matriz A não singular, isto é: dada uma aproximação inicial X 0 de A - 1 , podemos refinar está aproximação usando:

x k + 1 = x k 2 I - A x k ,   k = 0 ,   1 ,   …

Considere a matriz:

3 1 2 2

Trabalhando com arredondamento para três dígitos significativos em todas as operações;

a) obtenha uma aproximação para A - 1 , usando o método de Eliminação de Gauss;

b) refine a inversa obtida em a) usando (**), até obter o resíduo R k   =   I   -   A   X k com norma <   0.1 ;

c) usando a inversa obtida em b) calcule a solução aproximada do sistema A x   =   b , onde b   =   - 14.0 ,   12.0 t .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide dado o processo iterativo:

x k + 1 = x k 2 - a x k ,   a ≠ 0 .

pode ser usado para obter 1 a .

A fórmula acima vale também para refinar a inversa A - 1 de uma matriz A não singular, isto é: dada uma aproximação inicial X 0 de A - 1 , podemos refinar está aproximação usando:

x k + 1 = x k 2 I - A x k ,   k = 0 ,   1 ,   …

Considere a matriz:

3 1 2 2

Trabalhando com arredondamento para três dígitos significativos em todas as operações;

a) obtenha uma aproximação para A - 1 , usando o método de Eliminação de Gauss;

b) refine a inversa obtida em a) usando (**), até obter o resíduo R k   =   I   -   A   X k com norma <   0.1 ;

c) usando a inversa obtida em b) calcule a solução aproximada do sistema A x   =   b , onde b   =   - 14.0 ,   12.0 t .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha tendo em mãos o processo interativo dada na questão temos,

x k + 1 = x k 2 - a x k ,   a ≠ 0 .

Com,

3 1 2 2

Temos na letra (a) que para obter a aproximação do A - 1 , temos

3 1 2 2 x 1 x 2 = 1 0

Ficando,

3 x 1 + x 2 = 1 2 x 1 + 2 x 2 = 0

Calculando o sistema temos,

x 1 = - 1 4       e       x 2 = 1 4

Ficando,

3 4 1 4 - 1 2 1 2

Passo 3

Na letra (b) para determinar a aproximada de R k   =   I   -   A   X k , temos

3 4 1 4 - 1 2 1 2 x 1 x 2 = 0 0

3 4 x 1 + 1 4 x 2 = 0 - 1 2 x 1 + 1 2 x 2 = 0

E por fim na letra ( c ) usando a inversa para calcular o sistema A x = b temos,

3 1 2 2 x 1 x 2 = - 14 12

3 x 1 + x 2 = - 14 2 x 1 + 2 x 2 = 12 → 5 x 1 + 3 x 2 = 2  

Ficando,

5 x 1 + 3 x 2 = 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) 3 4 1 4 - 1 2 1 2

b) 3 4 x 1 + 1 4 x 2 = 0 - 1 2 x 1 + 1 2 x 2 = 0

c) 5 x 1 + 3 x 2 = 2