Considere o circuito a seguir com resistências e baterias tal como indicado; escolhemos arbitrariamente as correntes e os valores da malha:

Aplicando a Lei de Kirchoff que diz que a soma algébrica das diferenças de potencial em qualquer circuito fechado ´e zero, obtemos para as correntes i 1 , i 2 , i 3 , o seguinte sistema linear:

2 i 1 + 4 i 1 - i 2 + 2 i 1 - i 3 - 10 = 0 2 i 2 - 2 i 2 + 2 i 2 - i 3 + 4 i 2 - i 1 = 0 6 i 3 + 2 i 3 - i 1 + 2 i 3 - i 2 - 4 = 0

Deseja-se determinar o valor de i   =   i 1 , i 2 , i 3 t que satisfaça o sistema acima.

a) É possível resolver o sistema pelo método da decomposição L U ? Justifique;

b) É possível resolver o sistema pelo método de Cholesky? Justifique;

c) Resolva o sistema pelo método de Eliminação de Gauss.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide considerando o circuito a seguir com resistências e baterias tal como indicado; escolhemos arbitrariamente as correntes e os valores da malha:

Aplicando a Lei de Kirchoff que diz que a soma algébrica das diferenças de potencial em qualquer circuito fechado ´e zero, obtemos para as correntes i 1 , i 2 , i 3 , o seguinte sistema linear:

2 i 1 + 4 i 1 - i 2 + 2 i 1 - i 3 - 10 = 0 2 i 2 - 2 i 2 + 2 i 2 - i 3 + 4 i 2 - i 1 = 0 6 i 3 + 2 i 3 - i 1 + 2 i 3 - i 2 - 4 = 0

Deseja-se determinar o valor de i   =   i 1 , i 2 , i 3 t que satisfaça o sistema acima.

a) É possível resolver o sistema pelo método da decomposição L U ? Justifique;

b) É possível resolver o sistema pelo método de Cholesky? Justifique;

c) Resolva o sistema pelo método de Eliminação de Gauss.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera dado o circuito apresentado no passo anterior com o sistema de malhas representado por,

2 i 1 + 4 i 1 - i 2 + 2 i 1 - i 3 - 10 = 0 2 i 2 - 2 i 2 + 2 i 2 - i 3 + 4 i 2 - i 1 = 0 6 i 3 + 2 i 3 - i 1 + 2 i 3 - i 2 - 4 = 0

Temos que na letra (a) se resolver o método de decomposição L U , temos

2 4 4 2 2 2 2 4 6 2 2 - 4 → L 2 - L 1 →   2 4 4 2 0 - 2 - 2 2 6 2 2 - 4 → L 3 - 3 L 1

Ficando,

2 4 4 2 0 - 2 - 2 2 6 2 - 10 - 10

Já na letra (b) para método de Cholesky, temos

2 4 4 2 2 2 2 4 6 2 2 - 4 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Ficando,

1 4 4 2 2 1 2 4 6 2 2 - 3

E por fim na letra ( c ) para o método de eliminação de Gauss temos,

2 x 1 + 4 x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 = 0 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 = 0 6 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 - 4 x 4 = 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) 2 4 4 2 0 - 2 - 2 2 6 2 - 10 - 10

b) 1 4 4 2 2 1 2 4 6 2 2 - 3

c) 2 x 1 + 4 x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 = 0 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 = 0 6 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 - 4 x 4 = 0