Considere a f u n ç ã o   f   ( x )   =   e 6 x + 3 l n   2 2 e 2 x - l n   8 e 4 x - l n   2 3 . Use o método de Newton com p 0   =   0 para aproximar um zero de f . Gerar termos até |   p n + 1   -   p n |   <   0,0002 . Construa a sequência   {   p ^ n } . A convergência é melhorada?

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

O objetivo é gerar os termos |   p n + 1   -   p n |   <   0,0002 , usando o método de Newton p 0 = 0 para aproximar um zero de f e construir a sequência, para provar a convergência .

Passo 2

Vamos considerar a função

  f   ( x )   =   e 6 x + 3 l n   2 2 e 2 x - l n   8 e 4 x - l n   2 3 .

Usaremos o método de Newton com p 0 = 0 para aproximar um zero de f

Pelo método de Newton, a aproximação p n + 1 de uma raiz de f x = 0 é calculada partindo da aproximação p n usando a equação,

p n + 1 = p n - f p n f ' p n               ( 1 )

No Maple é usado para encontrar a primeira iteração de método de Newton com p 0 = 0

Inserindo a função no Maple

Encontrando p 2 usando o método de Newton

Simplifique para obter

Passo 3

Encontrando p 5 usando o método de Newton

Simplifique para obter

Simplifique para obter

Passo 4

Encontrando p 9

Passo 5

Vamos construir a sequência de Aitken

q n = p n - p n + 1 - p n 2 p n + 2 - 2 p n + 1 + p n

Primeiro Posto n = 0

q 0 = p 0 - p 1 - p 0 2 p 2 - 2 p 1 + p 0

q 0 = - 0.21011

Substituindo n = 1

q 1 = p 1 - p 2 - p 1 2 p 3 - 2 p 2 + p 1

q 1 = - 0 . 19639

Substituindo n = 2

q 2 = p 2 - p 3 - p 3 2 p 4 - 2 p 3 + p 2

q 2 = - 0.1 8932

Substituindo n = 3

q 3 = p 3 - p 4 - p 3 2 p 5 - 2 p 4 + p 3

q 3 = - 0.1 8561

Substituindo n = 4

q 4 = p 4 - p 5 - p 4 2 p 6 - 2 p 5 + p 4

q 4 = - 0.1 8334

Substituindo n = 5

q 5 = p 5 - p 6 - p 5 2 p 7 - 2 p 6 + p 5

q 5 = - 0.1 8132

Substituindo n = 6

q 6 = p 6 - p 7 - p 6 2 p 8 - 2 p 7 + p 6

q 6 = - 0.1 78864

Passo 6

Substituindo n = 7

q 7 = p 7 - p 8 - p 7 2 p 9 - 2 p 8 + p 7

q 7 = - 0.1 76438

Substituindo n = 8

q 8 = p 8 - p 9 - p 8 2 p 10 - 2 p 9 + p 8

q 8 = - 0.1 75308

Substituindo n = 9

q 9 = p 9 - p 10 - p 9 2 p 11 - 2 p 10 + p 9

q 9 = - 0.17 5160

Passo 7

Como,

q 9 - q 8

| - 0.175160 + 0.175308 |

0.000148 < 0.0002

Portanto,

q 9 = - 0.17516

Sendo assim, o método de Newton dá p 11 = - 0.17515 , e pelo método de Aitken , o valor melhorado pe q 9 = - 0.17516 .

Resposta

Sendo assim, o método de Newton dá p 11 = - 0.17515 , e pelo método de Aitken , o valor melhorado pe q 9 = - 0.17516 .