Considere o seguinte conjunto esparso de equações:

  2 - 1 0 0 0 0 - 1 2 - 1 0 0 0 0 - 1 2 - 1 0 0 0 0 - 1 2 - 1 0 0 0 0 - 1 2 - 1 0 0 0 0 - 1 2     x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6   =   2 - 1 7 5 4 3  

Mostre que usando o método de Eliminação de Gauss o sistema triangular resultante permanece esparso. Um sistema como este é chamado TRIDIAGONAL. Tais sistemas aparecem frequentemente na solução de equações diferenciais parciais.

Passo 1

Faaala, galerinha! Bora pra mais uma tranquila pra gente. Aqui o enunciado nos pede pra resolver o sistema acima utilizando a Eliminação de Gauss. Para isso, vamos primeiro reescrever nosso sistema na seguinte forma:

  2 - 1 0 0 0 0 |           2 - 1 2 - 1 0 0 0 | - 1 0 - 1 2 - 1 0 0 |           7 0 0 - 1 2 - 1 0 |           5 0 0 0 - 1 2 - 1 |           4 0 0 0 0 - 1 2 |           3  

Passo 2

Agora podemos começar a Eliminação de Gauss:

Fazendo L 2 - - 1 2 .   L 1 → L 2 , teremos:

  2 - 1 0 0 0 0 |           2 0 3 2 - 1 0 0 0 |           0 0 - 1 2 - 1 0 0 |           7 0 0 - 1 2 - 1 0 |           5 0 0 0 - 1 2 - 1 |           4 0 0 0 0 - 1 2 |           3  

Fazendo L 3 - - 2 3 .   L 2 → L 3 , teremos:

  2 - 1 0 0 0 0 |           2 0 3 2 - 1 0 0 0 |           0 0 0 4 3 - 1 0 0 |           7 0 0 - 1 2 - 1 0 |           5 0 0 0 - 1 2 - 1 |           4 0 0 0 0 - 1 2 |           3  

Fazendo L 4 - - 3 4 .   L 3 → L 4 , teremos:

  2 - 1 0 0 0 0 |               2 0 3 2 - 1 0 0 0 |               0 0 0 4 3 - 1 0 0 |               7 0 0 0 5 4 - 1 0 |         41 4 0 0 0 - 1 2 - 1 |               4 0 0 0 0 - 1 2 |               3  

Fazendo L 5 - - 4 5 .   L 4 → L 5 , teremos:

  2 - 1 0 0 0 0 |               2 0 3 2 - 1 0 0 0 |               0 0 0 4 3 - 1 0 0 |               7 0 0 0 5 4 - 1 0 |         41 4 0 0 0 0 6 5 - 1 |         61 5 0 0 0 0 - 1 2 |               3  

Fazendo L 6 - - 5 6 .   L 5 → L 6 , teremos:

  2 - 1 0 0 0 0 |               2 0 3 2 - 1 0 0 0 |               0 0 0 4 3 - 1 0 0 |               7 0 0 0 5 4 - 1 0 |         41 4 0 0 0 0 6 5 - 1 |         61 5 0 0 0 0 0 7 6 |         79 6  

Agora, podemos ver que ao final da aplicação da Eliminação de Gauss, continuamos com um sistema esparso. O sistema de equações terá a seguinte forma:

2 x 1 - 1 x 2 = 2

3 2 x 2 - x 3 = 0

4 3 x 3 - x 4 = 7

5 4 x 4 - x 5 = 41 4

6 5 x 5 - x 6 = 61 5

7 6 x 6 = 79 6

Substituindo o valor de x 6 na equação de cima e por consequência os próximos valores encontrados, chegaremos a seguinte solução do sistema:

x ≅ 8.7143 ,   15.4286 ,   23.1429 ,   23.8571 ,   19.5714 ,   11.2857 t

E aqui chegamos ao fim da questão, galera. Aguardo vocês na próxima1 😉

Resposta

  2 - 1 0 0 0 0 |               2 0 3 2 - 1 0 0 0 |               0 0 0 4 3 - 1 0 0 |               7 0 0 0 5 4 - 1 0 |         41 4 0 0 0 0 6 5 - 1 |         61 5 0 0 0 0 0 7 6 |         79 6  

A   s o l u ç ã o   d o   s i s t e m a   l i n e a r :

x ≅ 8.7143 ,   15.4286 ,   23.1429 ,   23.8571 ,   19.5714 ,   11.2857 t