Dado o sistema A x   =   b , considere uma perturbação da matriz A da forma A   +   δ A e seja b conhecido exatamente. Prove que: se

A - 1 ≤ 1 1 - δ   ‖ B - 1 ‖

Com B = A + δ A ,   então:

δ x ≤ δ 1 - δ x + δ x , δ = δ A B - 1 < 1 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide sendo o sistema A x   =   b , considere uma perturbação da matriz A da forma A   +   δ A e seja b conhecido exatamente. Prove que: se

A - 1 ≤ 1 1 - δ   ‖ B - 1 ‖

Com B = A + δ A ,   então:

δ x ≤ δ 1 - δ x + δ x , δ = δ A B - 1 < 1 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera nessa questão ele pede para provarmos que,

δ x ≤ δ 1 - δ x + δ x , δ = δ A B - 1 < 1 .

Tendo sido dado que,

A - 1 ≤ 1 1 - δ   ‖ B - 1 ‖ , B = A + δ A

Ficando,

B = A - 1 ≤ 1 1 - δ B - 1 + δ δ A B - 1 < 1

Logo temos que,

δ x ≤ δ 1 - δ x - δ x = 1 1 - δ ‖ B - 1 ‖

Chegando em,

δ x ≤ δ 1 - δ ‖ x - δ x ‖

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

δ x ≤ δ 1 - δ ‖ x - δ x ‖