Se a decomposição LU de uma matriz simétrica A é dada por:

L = 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1         ,             U =   1 2 3 4 0 4 8 12 0 0 9 18 0 0 0 16     ,

Verifique que a matriz G da decomposição de Cholesky é dada por:

G = 1 0 0 0 2 2 0 0 3 4 3 0 4 6 6 4

Passo 1

Faaaala, galera! Bora pra mais uma. Primeiramente, vamos lembrar que da decomposição LU, temos:

A = L U

E da decomposição de Cholesky, temos que:

A = G G t

Com isso, podemos chegar a seguinte relação:

L U = A = G G t

Portanto:

*                       L U = G G t

Passo 2

Portanto, agora, basta encontrarmos a matriz transposta de G e fazer os produtos da relação. Fazendo a transposta de G, encontraremos:

G t = 1 2 3 4 0 2 4 6 0 0 3 6 0 0 0 4

Agora, basta aplicarmos G t em *, para chegarmos em:

1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 1 2 3 4 0 4 8 12 0 0 9 18 0 0 0 16 = 1 0 0 0 2 2 0 0 3 4 3 0 4 6 6 4 1 2 3 4 0 2 4 6 0 0 3 6 0 0 0 4  

Resolvendo o sistema, teremos:

1 2 3 4 2 8 14 20 3 14 34 54 4 20 54 104 = 1 2 3 4 2 8 14 20 3 14 34 54 4 20 54 104  

Portanto, A matriz G da decomposição de Cholesky é a matriz dada no enunciado. E aqui terminamos a questão galera. Até a próxima! 😊

Resposta

A   m a t r i z   G   d a   d e c o m p o s i ç ã o   d e   C h o l e s k y   é   a   m a t r i z   d a d a   n o   e n u n c i a d o !