Demonstre o Teorema de Rolle generalizado, Teorema 1.10, verificando o seguinte. a. Use o Teorema de Rolle para mostrar que f 9 (zi··· , zn−1 , b.b. Use o Teorema de Rolle para mostrar que f 0 (wi w2 ··· wn−2 ,zn−1 , b.é 0. ) 5 0 para n − 2 números em [a, b] com z1 , w1 , z2 ,c. Continue os argumentos nas partes (a) e (b) para mostrar que para cada j = 1, 2,..., n − 1, existem n − j números distintos em [a, b], nos quais f ( j )d. Mostre que a parte (c) implica a conclusão do teorema.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Teorema generalizado de Rolle: Afirma que se supõe que é vezes diferenciável em . Se nos pontos distintos, então existe um número real ou com
Passo 2
a) A declaração nos pontos distintos implica que em cada subintervalo para
Aplicando o Teorema do Rolle em cada subintervalo existe um número real com tal que
Conclusão: Assim, verificando o resultado.
Passo 3
b) A declaração nos pontos distintos implica que em cada subintervalamento para
Aplicando o Teorema do Rolle em cada subintervalo existe um número real com para tal que
Conclusão: Assim, verificando o resultado.
Passo 4
c) A continuidade dos argumentos como parte (a) e parte (b) utilizando indução matemática leva à afirmação de que para cada um há pontos distintos em que onde
Conclusão: Assim, verificando o resultado.
Passo 5
d) Continuar os argumentos como parte (a) e parte (b) usando indução matemática leva à afirmação de que para cada um há pontos distintos em que
Escolha, para obter pelo menos um ponto em tal que onde
Conclusão: Assim, verificando a conclusão do Teorema do Rolle Generalizado.
Resposta
Resposta nos passos.