Demonstre o Teorema de Rolle generalizado, Teorema 1.10, verificando o seguinte. a. Use o Teorema de Rolle para mostrar que f 9 (zi··· , zn−1 , b.b. Use o Teorema de Rolle para mostrar que f 0 (wi w2 ··· wn−2 ,zn−1 , b.é 0. ) 5 0 para n − 2 números em [a, b] com z1 , w1 , z2 ,c. Continue os argumentos nas partes (a) e (b) para mostrar que para cada j = 1, 2,..., n − 1, existem n − j números distintos em [a, b], nos quais f ( j )d. Mostre que a parte (c) implica a conclusão do teorema.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Teorema generalizado de Rolle: Afirma que se supõe que f ∈ C [ a , b ] é n vezes diferenciável em ( a , b ) . Se f ( x ) = 0 nos ( n + 1 ) pontos distintos, então existe um número real a ≤ x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n - 1 < x n ≤ b ou c ∈ x 0 , x n com ( a , b ) f ( n ) ( c ) = 0

Passo 2

a) A declaração f ( x ) = 0 nos ( n + 1 ) pontos distintos implica que f x i = 0 em cada subintervalo x i , x i + 1 para i = 0,1 , 2,3 , ⋯ , n

Aplicando o Teorema do Rolle em cada subintervalo existe um número real z i com f ' z i = 0 i = 1,2 , 3 , ⋯ , n - 1 tal que

a < z 1 < z 2 < ⋯ < z n - 1 < b

Conclusão: Assim, verificando o resultado.

Passo 3

b) A declaração f ' z i = 0 nos ( n - 1 ) pontos distintos implica que f ' z i = 0 em cada subintervalamento x i , x i + 1 para i = 1,2 , 3 , ⋯ , n - 1

Aplicando o Teorema do Rolle em cada subintervalo existe um número real w i com f ' ' w i = 0 para i = 1,2 , 3 , ⋯ , n - 2 tal que

a < z 1 < w 1 < z 2 < w 2 < ⋯ w n - 2 < z n - 1 < b

Conclusão: Assim, verificando o resultado.

Passo 4

c) A continuidade dos argumentos como parte (a) e parte (b) utilizando indução matemática leva à afirmação de que para cada um i = 1,2 , 3 , ⋯ , n - 1 n - j + 1 pontos distintos em [ a , b ] que j = 1,2 , 3 , ⋯ , n - 1 onde f ( j ) = 0

Conclusão: Assim, verificando o resultado.

Passo 5

d) Continuar os argumentos como parte (a) e parte (b) usando indução matemática leva à afirmação de que para cada um i = 1,2 , 3 , ⋯ , n - 1 n - j + 1 pontos distintos em [ a , b ] que j = 1,2 , 3 , ⋯ , n - 1 f ( j ) = 0

Escolha, j = n para obter pelo menos um ponto n - j + 1 = n - n + 1 = 1 em [ a , b ] tal que f ( n ) ( k ) = 0 onde k ∈ ( a , b )

Conclusão: Assim, verificando a conclusão do Teorema do Rolle Generalizado.

Resposta

Resposta nos passos.