Determine as constantes a, b, c e d que produzirão uma fórmula de quadratura

∫ - 1 1 f x d x = a f - 1 + b f 0 + c f - 1 + d f ' - 1 + e f ' ( 1 )

que tem grau de precisão 4.

Passo 1

Bora pra ultima?

Simboráa

Considerando a fórmula de quadratura fornecida no enunciado.

Para determinar as constantes a, b, c e d exigimos quatro condições, portanto, suponha que a formula dada tenha precisão de grau3. Ou seja, é exato para x k ,   k = 0 , 1,2 .

Passo 2

Agora para k=0, tomar f x = x 0 = 1

f ' x = 0

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 1 d x

= x | - 1 1 = a 1 + b 1 + c 1 + d 0 + e ( 0 )

= - 1 - 1 = a + b + c

= 2

E R H = a 1 + b 1 + c 0 + d ( 0 )

= a + b + c

Como LRH= RSH iremos obter, a + b + c = 2

Passo 3

Agora para k=1, tomar f x = x

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 x d x

= x 2 2 - 1 1

= 1 2 - 1 2

= 0

E R H = a 1 + b 0 + c 1 + d 1 + e ( 1 )

= - a + c + d + e

Como LRH= RSH iremos obter, - a + c + d + e = 0

Passo 4

Agora para k=2, tomar f x = x 2

f ' x = 2 x

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 x 2 d x

= x 3 3 - 1 1

= 1 3 - - 1 3

= 2 3

E R H = a 1 + b 0 + c 1 + d - 2 + e ( 2 )

= a + c - 2 d + 2 e

Como LRH= RSH iremos obter, a + c - 2 d + 2 e = 2 / 3

Agora para k=3, tomar f x = x 3

f ' x = 3 x 2

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 3 x 2 d x

= x 4 4 - 1 1

= 1 4 - 1 4

= 0

E R H = a - 1 + b 0 + c 1 + d 3 + e ( 3 )

= - a + c + 3 d + 3 e

Como LRH= RSH iremos obter, - a + c + 3 d + 3 e = 0

Passo 5

Agora para k=4, tomar f x = x 3

f ' x = 4 x 3

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 4 x 3 d x

= x 5 5 - 1 1

= 1 5 - - 1 5

= 2 5

E R H = a 1 + b 0 + c 1 + d - 4 + e ( 4 )

= a + c - 4 d + 4 e

Como LRH= RSH iremos obter, a + c - 4 d + 4 e = 2 / 5

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações temos

Usando o maple para resolver as equações acima

Entrada

Saída

Resposta

Os valores exigidos são

a = 7 / 15

b = 16 / 15

c = 7 / 15

d = 1 / 15

e = - 1 / 15