Determine as constantes a, b, c e d que produzirão uma fórmula de quadratura

∫ - 1 1 f x d x = a f - 1 + b f 1 + c f ' - 1 + d f ' ( 1 )

que tem grau de precisão 3.

Passo 1

Bora pra ultima?

Simboráa

Considerando a fórmula de quadratura fornecida no enunciado.

Para determinar as constantes a, b, c e d exigimos quatro condições, portanto, suponha que a formula dada tenha precisão de grau3. Ou seja, é exato para x k ,   k = 0 , 1,2 .

Passo 2

Agora para k=0, tomar f x = x 0 = 1

f ' x = 0

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 1 d x

= x | - 1 1

= - 1 - 1

= 2

E R H = a 1 + b 1 + c 0 + d ( 0 )

= a + b

Como LRH= RSH iremos obter, a + b = 2

Passo 3

Agora para k=1, tomar f x = x

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 x d x

= x 2 2 - 1 1

= 1 2 - 1 2

= 0

E R H = a 1 + b 1 + c 1 + d ( 1 )

= - a + b + c + d

Como LRH= RSH iremos obter, - a + b + c + d = 0

Agora para k=2, tomar f x = x 2

f ' x = 2 x

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 x 2 d x

= x 3 3 - 1 1

= 1 3 - - 1 3

= 2 3

E R H = a 1 + b 1 + c - 2 + d ( - 2 )

= a + b - 2 c + 2 d

Como LRH= RSH iremos obter, a + b - 2 c + 2 d = 2 / 3

Agora para k=3, tomar f x = x 3

f ' x = 3 x 2

Então de (1), LHS =

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 1 3 x 2 d x

= x 4 4 - 1 1

= 1 4 - 1 4

= 0

E R H = a - 1 + b 1 + c 3 + d ( 3 )

= - a + b + 3 c + 3 d

Como LRH= RSH iremos obter, - a + b + 3 c + 3 d = 0

Resposta

Resolvendo (2), (3), (4) e (5), iremos obter

a = 1

b = 1

c = 1 / 3

d = - 1 3