Determine o polinômio de Taylor de ordem dois P2 (x) para a função f (x) 5 excos x em x0 5 0.

a. Use P2(0,5) para aproximar f (0,5). Determine um limitante superior para o erro u f (0,5) 2 P2 usando a fórmula de erro e compare-o com o erro real.b. Determine um limitante para o erro u f (x) 2 P2 cometido ao usar p2(x) para aproximar f(x) no intervalo [0,1]

c. Aproxime E1 0f (x) dx usando E P2(x) dx.1 0d. Determine um limitante superior para o erro em (c) usando E erro real.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a função:

f x = x - 1 ln ⁡ x

O objetivo é determinar um polinômio de ordem 3 P 3 x para a função f x sobre x 0 = 1

Considere a função:

f x = x - 1 ln ⁡ x

Onde sua primeira derivada é:

f ' x = x - 1 ⋅ d d x log ⁡ x + d d x x - 1 ⋅ ln ⁡ x

→ f ' x = x - 1 1 x + ln ⁡ x

Claramente, f ' x é finito para todo x > 0 .

Então, f x = x - 1 ln ⁡ x é diferenciável para todo x > 0 .

Já que, toda função diferenciável é contínua. Então, f x = x - 1 ln ⁡ x é contínua para todo x > 0 .

Logo, f ∈ C ∞ w + , onde w + = { x > 0 ∣ x ∈ w }

Então, o teorema de Taylor pode ser aplicado para qualquer n   ≥ 0 .

Passo 2

Pelo teorema de Taylor:

f x = P n x + R n x

Onde, P n x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n

R n x = f n + 1 ξ x n + 1 ! x - x 0 n + 1

Aqui, P n x é chamado de enésimo polinômio de Taylor para f sobre x 0 e R n x é chamado de termo restante (ou Erro de Truncamento) associado a P n x .

As derivadas da função f ( x ) em x = 1 como segue:

f x = x - 1 ln ⁡ x   f 1 = 0  

f ' x = x - 1 1 x + ln ⁡ x   f ' 1 = 0

f ' ' x = x - 1 - 1 x 2 + 2 x   f ' ' 1 = 2

f ' ' ' x = 2 x 3 x - 1 - 3 x 2   f ' ' ' 1 = - 3

f 4 x = - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3   f 4 1 = 8

Substituindo n = 3 e x 0 = 1 em P n x

P 3 x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! 3 ! x - 1 3

→ P 3 x = 0 + 0 x - 1 + 2 2 x - 1 2 + - 3 6 x - 1 3

Portanto, o terceiro polinômio de Taylor P 3 x para a função f x sobre x 0 = 1 é,

∴ P 3 x = x - 1 2 - 1 2 x - 1 3

Passo 3

a) o objetivo é achar f 0,5 usando P 3 0,5

Determinando um limite superior para erro f 0,5 - P 3 0,5 e comparando isso com o erro atual

O terceiro polinômio de Taylor P 3 x para a função f x sobre x 0 = 1 é

P 3 x = x - 1 2 - 1 2 x - 1 3

Portanto,

P 3 0,5 = 0,5 - 1 2 - 1 2 0,5 - 1 3

→ P 3 = 0,25 + 0,0625

→ P 3 = 0,3125

f 0,5 = 0,5 - 1 ln ⁡ 0,5

  → f 0,5 ≈ 0,34657359

Assim,

f 0.5 - P 3 0.5 = R 3 0.5

Substitua n = 3 em R n x .

R 3 x = f 4 ξ x 4 ! x - 1 4

→ R 3 x = - 6 ξ x 4 ξ x - 1 + 8 ξ x 3 24 x - 1 4

→ R 3 x = x - 1 4 24 - 6 ξ x 4 ξ x - 1 + 8 ξ x 3

Pegue, x = 0,5 .

R 3 0,5 = 0,5 - 1 4 24 - 6 ξ 0,5 4 ξ 0.5 - 1 + 8 ξ 0.5 3

Portanto,

R 3 0.5 ≤ max ξ x ∈ 0,0.5 ⁡ - 0.5 4 24 - 6 ξ 0.5 4 ξ 0.5 - 1 + 8 ξ 0.5 3

R 3 0.5 ≤ 0.5 4 24 max ξ x ∈ 0,0.5 ⁡ - 6 ξ 0.5 4 ξ 0.5 - 1 + 8 ξ 0.5 3

Considerando,

max ξ x ∈ 0.0 . 5 ⁡ - 6 ξ 0.5 4 ξ 0.5 - 1 + 8 ξ 0.5 3

=  valor máximo de  - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3  em  0,0.5

Para encontrar o valor máximo, primeiro encontre a derivada de - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3 . Isso é,

d d x - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3 = - 6 x 4 1 + x - 1 - 6 - 4 x 5 + 8 - 3 x 4

Claramente, a derivada é positiva para todo x ∈ 0,0.5

Portanto, - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3 está aumentando em ( 0,0.5 ) .

Assim, o valor máximo ocorre no ponto final direito em 0,0.5

Então, a 0,5 :

- 6 0.5 4 0.5 - 1 + 8 0.5 3 = 112

Assim,

f 0.5 - P 3 0.5 ≤ 0.5 4 24 112

→ f 0,5 - 0,125 ≤ 0.5 4 24 112

∴ f 0,5 - 0,125 ≤ 0,291666667

Portanto, o limite superior é 0 , 291666667 .

E o erro atual é

f 0.5 - P 3 0.5 = 0.34657359 - 0.3125 = 0,03407359

Passo 4

b) O objetivo é determinar um limite para o erro f x - P 3 x usando P 3 x para encontrar f x em 0.5,1.5

Pelo teorema de Taylor,

f x = P n x + R n x

f x - P n x = R n x

f x - P n x = R n x

Substitua n = 3 em R n x

R 3 x = f 4 ξ x 4 ! x - 1 4

R 3 x = x - 1 4 24 - 6 ξ x 4 ξ x - 1 + 8 ξ x 3

Pegue, x = 1,5 .

R 3 1.5 = 1.5 - 1 4 24 - 6 ξ 1.5 4 ξ 1.5 - 1 + 8 ξ 1.5 3

Portanto,

R 3 1.5 ≤ max ξ x ∈ 0.5,1.5 1.5 - 1 4 24 - 6   i 1.5 4 ξ 1.5 - 1 + 8 ξ 1.5 3

R 3 1.5 ≤ 0.5 4 24 max ξ x ∈ 0.5,1.5 ⁡ - 6 ξ 1.5 4 ξ 1.5 - 1 + 8 ξ 1.5 3

Passo 5

Considere max ξ x ∈ 0,0 , 5 ⁡ - 6 ξ 0.5 4 ξ 0.5 - 1 + 8 ξ 0.5 3

= valor máximo de  - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3  em  0.5,1.5  

Para encontrar o valor máximo, primeiro encontre a derivada de - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3

Isso é,

d d x - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3 = - 6 x 4 1 + x - 1 - 6 - 4 x 5 + 8 - 3 x 4

Claramente, a derivada é negativa em x = 1 ∈ 0.5,1.5

Portanto, - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3 está diminuindo em 0.5,1.5

Portanto, o valor máximo ocorre no ponto final esquerdo em 0.5,1.5

Então, a 0,5 :

- 6 0.5 4 0.5 - 1 + 8 0.5 3 = 112

Portanto, o limite para o erro é,

f 0.5 - P 3 0.5 ≤ 0.5 4 24 112

∴ f 0.5 - P 3 0.5 ≤ 0.2916  em  0.5,1.5

Passo 6

c) O objetivo é aproximar o valor de ∫ 0.5 1.5 f x d x usando ∫ 0.5 1.5 P 3 x d x .

O terceiro polinômio de Taylor P 3 x para a função f x sobre x 0 = 1 é,

P 3 x = x - 1 2 - 1 2 x - 1 3

∫ 0.5 1.5 f x d x ≈ ∫ 0.5 1.5 P 3 x d x

→ ∫ 0.5 1.5 f x d x = ∫ 0.5 1.5 x - 1 2 - 1 2 x - 1 3 d x

→ ∫ 0.5 1.5 f x d x = x - 1 3 3 - 1 2 x - 1 4 4   r i g h t 0.5 1.5

→ ∫ 0.5 1.5 f x d x = 0.125 - - 0.125 3 - 1 2 0.0625 - 0.0625

∴ ∫ 0.5 1.5 f x d x = 0,083333333

Mas o valor real é,

∫ 0.5 1.5 f x d x = ∫ 0.5 1.5 x - 1 ln ⁡ x d x

→ ∫ 0.5 1.5 f x d x = - x 2 4 + 1 2 x 2 ln ⁡ x + x x ln ⁡ x 0.5 1.5

∴ ∫ 0.5 1.5 f x d x = 0,0880204

Passo 7

d) O objetivo é determinar um limite superior para o erro na parte (c) usando ∫ 0.5 1.5 R 3 x d x e compará-lo com o erro real.

Substitua n = 3 em R n x

R 3 x = f 4 ξ x 4 ! x - 1 4

R 3 x = x - 1 4 24 - 6 ξ x 4 ξ x - 1 + 8 ξ x 3

∫ 0.5 1.5 R 3 x d x = ∫ 0.5 1.5 x - 1 4 24 - 6 ξ x 4 ξ x - 1 + 8 ξ x 3 d x

≤ 1 24 max ξ x ∈ 0.5,1.5 ⁡ - 6 ξ x 4 ξ x - 1 + 8 ξ x 3 ∫ 0.5 1.5 x - 1 4 d x

Considerar,

max ξ x ∈ 0,0.5 ⁡ - 6 ξ 0.5 4 ξ 0.5 - 1 + 8 ξ 0.5 3

=  máximo valor de  - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3  em  0,5 , 1,5

Para encontrar o valor máximo, primeiro encontre a derivada de - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3

Isso é,

d d x - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3 = - 6 x 4 1 + x - 1 - 6 - 4 x 5 + 4 - 3 x 4

Claramente, a derivada é negativa em x = 1 ∈ 0.5,1.5

Portanto, - 6 x 4 x - 1 + 8 x 3 está diminuindo em ( 0.5,1.5 ) .

Portanto, o valor máximo ocorre no ponto final esquerdo em [ 0.5,1.5 ] .

Passo 8

Então, em 0,5:

- 6 0.5 4 0.5 - 1 + 8 0.5 3 = 112

Portanto,

∫ 0.5 1.5 R 3 x d x ≤ 1 24 112 ∫ 0.5 1.5 x - 1 4 d x

= 112 24 x - 1 5 5 0.5 1.5

= 112 24 0.5 5 5 - - 0.5 5 5

= 112 24 0,0125

= 0,0583333

Portanto, o limite de erro é 0,058 3 ¯ .

O valor integral da função f ( x ) em [ 0.5,1.5 ] é,

∫ 0.5 1.5 f x d x = ∫ 0.5 1.5 x - 1 ln ⁡ x d x

= - x 2 4 + 1 2 x 2 ln ⁡ x + x x ln ⁡ x 0.5 1.5

= 0,0880204

O erro real é,

∫ 0.5 1.5 f x d x - ∫ 0.5 1.5 P 3 x d x = 0.0880204 - 0.08333333

= 0,00468707

= 4,687 × 10 - 3

Portanto, o erro real é 4,687 × 10 - 3

Resposta

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