Determine o polinômio de Taylor de ordem dois P2 (x) para a função f (x) 5 excos x em x0 5 0.
a. Use P2(0,5) para aproximar f (0,5). Determine um limitante superior para o erro u f (0,5) 2 P2 usando a fórmula de erro e compare-o com o erro real.b. Determine um limitante para o erro u f (x) 2 P2 cometido ao usar p2(x) para aproximar f(x) no intervalo [0,1]
c. Aproxime E1 0f (x) dx usando E P2(x) dx.1 0d. Determine um limitante superior para o erro em (c) usando E erro real.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Considere a função:
O objetivo é determinar um polinômio de ordem 3 para a função sobre
Considere a função:
Onde sua primeira derivada é:
Claramente, é finito para todo .
Então, é diferenciável para todo .
Já que, toda função diferenciável é contínua. Então, é contínua para todo .
Logo, , onde
Então, o teorema de Taylor pode ser aplicado para qualquer .
Passo 2
Pelo teorema de Taylor:
Onde,
Aqui, é chamado de enésimo polinômio de Taylor para sobre e é chamado de termo restante (ou Erro de Truncamento) associado a .
As derivadas da função em como segue:
Substituindo e em
Portanto, o terceiro polinômio de Taylor para a função sobre é,
Passo 3
a) o objetivo é achar usando
Determinando um limite superior para erro e comparando isso com o erro atual
O terceiro polinômio de Taylor para a função sobre é
Portanto,
Assim,
Substitua em .
Pegue, .
Portanto,
Considerando,
Para encontrar o valor máximo, primeiro encontre a derivada de . Isso é,
Claramente, a derivada é positiva para todo
Portanto, está aumentando em .
Assim, o valor máximo ocorre no ponto final direito em
Então, a :
Assim,
Portanto, o limite superior é 0.
E o erro atual é
Passo 4
b) O objetivo é determinar um limite para o erro usando para encontrar em
Pelo teorema de Taylor,
Substitua em
Pegue, .
Portanto,
Passo 5
Considere
Para encontrar o valor máximo, primeiro encontre a derivada de
Isso é,
Claramente, a derivada é negativa em
Portanto, está diminuindo em
Portanto, o valor máximo ocorre no ponto final esquerdo em
Então, a :
Portanto, o limite para o erro é,
Passo 6
c) O objetivo é aproximar o valor de usando .
O terceiro polinômio de Taylor para a função sobre é,
Mas o valor real é,
Passo 7
d) O objetivo é determinar um limite superior para o erro na parte (c) usando e compará-lo com o erro real.
Substitua em
Considerar,
Para encontrar o valor máximo, primeiro encontre a derivada de
Isso é,
Claramente, a derivada é negativa em
Portanto, está diminuindo em .
Portanto, o valor máximo ocorre no ponto final esquerdo em .
Passo 8
Então, em 0,5:
Portanto,
Portanto, o limite de erro é .
O valor integral da função em é,
O erro real é,
Portanto, o erro real é
Resposta
Respostas nos passos