(i) Determine se as seguintes matrizes são definidas positivas e, em caso afirmativo.

(ii) construa uma matriz ortogonal matriz Q para qual Q T t A Q = D , onde D é uma matriz diagonal.

a) A = 4 2 1 2 4 0 1 0 4

b) A = 3 2 1 2 2 0 1 0 1

c) A = 1 - 1 - 1 1 - 1 2 - 1 - 2 - 1 - 1 3 0 1 - 2 0 4

d) A = 8 4 2 1 4 8 2 1 2 2 8 1 1 1 1 8

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para determinar se as matrizes são definidas positiva e se forem, devemos construir uma matriz ortogonal Q onde D é uma matriz ortogonal. Dado:

a) A = 4 2 1 2 4 0 1 0 4

b) A = 3 2 1 2 2 0 1 0 1

c) A = 1 - 1 - 1 1 - 1 2 - 1 - 2 - 1 - 1 3 0 1 - 2 0 4

d) A = 8 4 2 1 4 8 2 1 2 2 8 1 1 1 1 8

Fica tranquilo que vamos resolver ela juntos.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

A = 4 2 1 2 4 0 1 0 4 , temos

4 2 1 2 4 0 1 0 4

i j k 4 2 1 2 4 0 1 0 4     i j 4 2 2 4 1 0

64 - 16 - 4 = 44 → p o s i t i v a  

Ficando com, Q T t A Q = D

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 4 2 1 2 4 0 1 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Q = 2 0 2 0 0 1 2 2 1            

      D = 2 0 0 0 3 0 0 0 1

Na letra (b) sabendo que,

A = 3 2 1 2 2 0 1 0 1 , temos

3 2 1 2 2 0 1 0 1

i j k 3 2 1 2 2 0 1 0 1     i j 3 2 2 2 1 0  

6 - 6 = 0 → n e u t r o  

Passo 3

Na letra (c) sabendo que,

A = 1 - 1 - 1 1 - 1 2 - 1 - 2 - 1 - 1 3 0 1 - 2 0 4 , temos

1 - 1 - 1 1 - 1 2 - 1 - 2 - 1 - 1 3 0 1 - 2 0 4

- 6 → n e g a t i v o  

E por fim na letra (d) sabendo que,

A = 8 4 2 1 4 8 2 1 2 2 8 1 1 1 1 8 , temos

8 4 2 1 4 8 2 1 2 2 8 1 1 1 1 8

- 7 → n e g a t i v o  

Viu, vencemos está junto. Até a próxima meus queridos.

Resposta

a) Q = 2 0 2 0 0 1 2 2 1             e           D = 2 0 0 0 3 0 0 0 1

b)   0

c) - 6 → n e g a t i v o    

d) - 7 → n e g a t i v o