(i) Determine se as seguintes matrizes são definidas positivas e, em caso afirmativo.

(ii) construa uma matriz ortogonal matriz Q para qual Q T t A Q = D , onde D é uma matriz diagonal.

a) A = 2 1 1 2

b) A = 1 2 2 1

c) A = 2 0 1 0 2 0 1 0 2

d) A = 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para determinar se as matrizes são definidas positiva e se forem, devemos construir uma matriz ortogonal Q onde D é uma matriz ortogonal. Dado:

a) A = 2 1 1 2

b) A = 1 2 2 1

c) A = 2 0 1 0 2 0 1 0 2

d) A = 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Fica tranquilo que vamos resolver ela juntos.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

A = 2 1 1 2 , temos

2 1 1 2 → 4 - 1 = 3 → p o s i t i v a  

Ficando com, Q T t A Q = D

1 0 0 1 - 1 2 1 1 2 1 0 0 2  

Q = - 2 2 2 2 2 2 2 2     e     D = 1 0 0 3

Na letra (b) sabendo que,

A = 1 2 2 1 , temos

1 2 2 1 → 1 - 4 = - 3 → n e g a t i v o  

Passo 3

Na letra (c) sabendo que,

A = 2 0 1 0 2 0 1 0 2 , temos

2 0 1 0 2 0 1 0 2 → i j k 2 0 1 0 2 0 1 0 2     i j 2 0 0 2 1 0

8 - 6 = 6 → p o s i t i v a  

Ficando com, Q T t A Q = D

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 2 0 1 0 2 0 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Que vai nos dar,

Q = 2 2 0 - 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2  

        D = 3 0 0 0 2 0 0 0 1

E por fim na letra (d) sabendo que,

A = 1 1 1 1 1 0 1 0 1 , temos

1 1 1 1 1 0 1 0 1 → i j k 1 1 1 1 1 0 1 0 1     i j 1 1 1 1 1 0

1 - 1 - 1 = - 1 → n e g a t i v o  

Viu, vencemos está junto. Até a próxima meus queridos.

Resposta

a) Q = - 2 2 2 2 2 2 2 2     e     D = 1 0 0 3

b)   - 3 → n e g a t i v o

c) Q = 2 2 0 - 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2             e           D = 3 0 0 0 2 0 0 0 1

d) - 1 → n e g a t i v o