Encontre a aproximação polinomial linear de mínimos quadrados para f ( x ) no intervalo indicado se

A. f x = x 2 + 3 x + 2     0,1 ; B. f x = x 3 ,     0,2 ;

C. f x = 1 x .     1,3 ; D. f x = e x ,   0,2 ;

E. f x = 1 2 cos ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 2 x ,   0,1 ; F. f x = x ln ⁡ x ,   [ 1,3 ]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Estamos falando de aproximação, e a depender do grau uma regressão linear, se mostra não apropriada, felizmente o método dos mínimos quadrados pode fazer regressões do tipo polinomial, logo temos o seguinte aspecto: Se um polinômio do tipo P n x = ∑ i = 0 n a i x i é o polinômio mínimo quadrado de grau n da função f ( x ) com coeficientes a i ,     i = 0,1 , … , n que são dadas pelas equações normais, nós temos que

∑ k = 0 n a k ∫ a b x j + k   d x = ∫ a b x j f x   d x

Para cada j = 0,1 , 2 , … , n

A – Dado que f x = x 2 + 3 x + 2 e nós queremos o polinômio mínimo quadrado no intervalo [ 0,1 ] , o nosso palpite é do seguinte polinômio

P 1 x = a 0 + a 1 x

Logo, vamos ter as seguintes equações

a 0 ∫ 0 1 x 0 + a 1 ∫ 0 1 x 1   d x = ∫ 0 1 x 0   f x   d x

a 0 ∫ 0 1 x 1 + a 1 ∫ 0 1 x 2   d x = ∫ 0 1 x 1   f x   d x

Isto nos fornece

a 0 + 1 2 a 1 = ∫ 0 1 x 2 - 2 x + 3 d x = 23 6

1 2 a 0 + 1 3 a 1 = ∫ 0 1 x x 2 - 2 x + 3   d x = 9 4

Resolvendo este “sistema”, nós obtemos a 0 = 11 6 e a 1 = 4 . Este resultado é a aproximação polinomial

P 1 x = 11 6 + 4 x

Passo 2

B – Dada a função (é como um algoritmo mesmo) f x = x 3 no intervalo [ 0,2 ] , nós temos as seguintes equações

2 a 0 + 2 a 1 = 38 3

2 a 0 + 8 3 a 1 = 16

Resolvendo o sistema, nós obtemos a 0 = 4 3 e a 1 = 5 . Isto nos dá a aproximação linear como

P 1 x = 4 3 + 5 x

Passo 3

C – As equações para MMQ na função f x = 1 x no intervalo [ 1,3 ] são

2 a 0 + 4 a 1 = 1,09861

4 a 0 + 26 3 a 1 = 2

Resolvendo este sistema, nós obtemos a 0 = 1,14098 e a 1 = - 0,295837 , logo, o polinômio mínimo é igual a

P 1 x = - 0,295837 x + 1,14098

Passo 4

D -

Resposta

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