Encontre a aproximação polinomial de mínimos quadrados de grau dois para as funções e intervalos no Exercício 1.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Se um polinômio do tipo P n x = ∑ i = 0 n a i x i é o polinômio mínimo quadrado de grau n da função f ( x ) com coeficientes a i ,     i = 0,1 , … , n que são dadas pelas equações normais, nós temos que

∑ k = 0 n a k ∫ a b x j + k   d x = ∫ a b x j f x   d x

Para cada j = 0,1 , 2 , … , n

A – Vamos seguir a ordem do exercício 1, então a função f x = x 2 + 3 x + 2   no intervalo [ 0,1 ] . As equações são dadas por

a 0 ∫ 0 2 x 0   d x + a 1 ∫ 0 2 x 1   d x + a 2 ∫ 0 2 x 2   d x = ∫ 0 2 x 0 x 2 + 3 x + 2   d x

a 0 ∫ 0 2 x 1   d x + a 1 ∫ 0 2 x 2   d x + a 2 ∫ 0 2 x 3   d x = ∫ 0 2 x 1 x 2 + 3 x + 2   d x

a 0 ∫ 0 2 x 2   d x + a 1 ∫ 0 2 x 3   d x + a 2 ∫ 0 2 x 4   d x = ∫ 0 2 x 2 x 2 + 3 x + 2   d x

Simplificando, nós temos que

a 0 + 1 2 a 1 + 1 3 a 2 = 3,83333

1 2 a 0 + 1 3 a 1 + 1 5 a 2 = 2,25

1 3 a 0 + 1 4 a 1 + 1 5 a 2 = 1,61667

Resolvendo este sistema, temos as seguintes soluções

a 1 = 2 ; a 2 = 3 ; a 3 = 1

Logo, temos o seguinte polinômio

P 2 x = 1 ∙ x 2 + 3 ∙ x + 2

Passo 2

B – Dada a função f x = x 3 no intervalo [ 0,2 ] . As equações serão algo do tipo

a 0 ∫ 0 2 x 0   d x + a 1 ∫ 0 2 x 1   d x + a 2 ∫ 0 2 x 2   d x = ∫ 0 2 x 0 x 3   d x

a 0 ∫ 0 2 x 1   d x + a 1 ∫ 0 2 x 2   d x + a 2 ∫ 0 2 x 3   d x = ∫ 0 2 x 1 x 3   d x

a 0 ∫ 0 2 x 2   d x + a 1 ∫ 0 2 x 3   d x + a 2 ∫ 0 2 x 4   d x = ∫ 0 2 x 2 x 3   d x

Simplificando, nós temos que

2 a 0 + 8 3 a 1 + 4 a 2 = 6,4

8 3 a 0 + 4 a 1 + 32 5 a 2 = 10,6667

Resolvendo isso, nós obtemos que

a 0 = 0,4 ;     a 1 = - 2,4   e   a 2 = 3

O que nos fornece

P 2 x = 3 x 2 - 2,4 x + 0,4

Passo 3

C – A função nesse caso é igual a f x = 1 x no intervalo [ 1,3 ] . As equações serão iguais a

a 0 ∫ 1 3 x 0   d x + a 1 ∫ 1 3 x 1   d x + a 2 ∫ 1 3 x 2   d x = ∫ 1 3 x 0 1 x   d x

a 0 ∫ 1 3 x 1   d x + a 1 ∫ 1 3 x 2   d x + a 2 ∫ 1 3 x 3   d x = ∫ 1 3 x 1 1 x   d x

a 0 ∫ 1 3 x 1   d x + a 1 ∫ 1 3 x 2   d x + a 2 ∫ 1 3 x 3   d x = ∫ 1 3 x 2 1 x   d x

Isto nos fornece

2 a 0 + 4 a 1 + 26 3 a 2 = 1,09861

4 a 0 + 26 3 a 1 + 20 a 2 = 2

26 3 a 0 + 20 a 1 + 242 5 a 2 = 4

Resolvendo o sistema, nós temos que

a 0 = 1,72353 ; a 1 = - 0,931351   e   a 2 = 0,158878

Portanto, nós temos que

P 2 x = 0,158878 x 2 - 0,931351 x + 1,72353

Passo 4

D – Dada a função f x = e x no intervalo [ 0,2 ] , as equações normais são dadas por

a 0 ∫ 0 2 x 0   d x + a 1 ∫ 0 2 x 1   d x + a 2 ∫ 0 2 x 2   d x = ∫ 0 2 x 0 e x   d x

a 0 ∫ 0 2 x 1   d x + a 1 ∫ 0 2 x 2   d x + a 2 ∫ 0 2 x 3   d x = ∫ 0 2 x 1 e x   d x

a 0 ∫ 0 2 x 2   d x + a 1 ∫ 0 2 x 3   d x + a 2 ∫ 0 2 x 4   d x = ∫ 0 2 x 2 e x   d x

Isso nos fornece as seguintes equações

2 a 0 + 2 a 1 + 8 3 a 2 = 6,38906

2 a 0 + 8 3 a 1 + 4 a 2 = 8,38906

8 3 a 0 + 4 a 1 + 32 5 a 2 = 12,7781

As soluções deste sistema são respectivamente

a 0 = 1,16717 ; a 1 = 0,0820770   e   a 2 = 1,45896

Portanto, nós obtemos que

P 2 x = 1,45896 x 2 + 0,0820770 x + 1,16717

Passo 5

E – A função é igual a f x = 1 2 cos ⁡ ( x ) + 1 3 sin ⁡ ( 2 x ) no intervalo [ 0,1 ] . As equações normais são dadas por

a 0 ∫ 0 1 x 0   d x + a 1 ∫ 0 1 x 1   d x + a 2 ∫ 0 1 x 2   d x =   ∫ 0 1 x 0 1 2 cos ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 2 x   d x

a 0 ∫ 0 1 x 1   d x + a 1 ∫ 0 1 x 2   d x + a 2 ∫ 0 1 x 3   d x =   ∫ 0 1 x 1 1 2 cos ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 2 x   d x

a 0 ∫ 0 1 x 1   d x + a 1 ∫ 0 1 x 2   d x + a 2 ∫ 0 1 x 3   d x =   ∫ 0 1 x 2 1 2 cos ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 2 x   d x

Isto nos fornece

a 0 + 1 2 a 1 + 1 3 a 2 = 0,656760

1 2 a 0 + 1 3 a 1 + 1 4 a 2 = 0,336019

1 3 a 0 + 1 4 a 1 + 1 5 a 2 = 0,222462

Resolvendo isso, nós temos que

a 0 = 0,488005 ; a 1 = 0,829193   e   a 2 =   - 0,737518

Portanto, nós temos que

P 2 x = - 0,737518 x 2 + 0,829193 x + 0,488005

Passo 6

F – A função é dada por f x = x log ⁡ x no intervalo de [ 1,3 ] . As equações normais são dadas por

a 0 ∫ 1 3 x 0   d x + a 1 ∫ 1 3 x 1   d x + a 2 ∫ 1 3 x 2   d x = ∫ 1 3 x 0 x log ⁡ x   d x

a 0 ∫ 1 3 x 1   d x + a 1 ∫ 1 3 x 2   d x + a 2 ∫ 1 3 x 3   d x = ∫ 1 3 x 1 x log ⁡ x   d x

a 0 ∫ 1 3 x 1   d x + a 1 ∫ 1 3 x 2   d x + a 2 ∫ 1 3 x 3   d x = ∫ 1 3 x 2 x log ⁡ x   d x

Isto nos dá a seguinte resposta

2 a 0 + 4 a 1 + 26 3 a 2 = 2,94376

4 a 0 + 26 3 a 1 + 20 a 2 = 6,99862

26 3 a 0 + 20 a 1 + 242 5 a 2 = 17,2469

Resolvendo isso, nós temos que a 0 = - 0,908962 ; a 1 = 0,627583   e   a 2 = 0,259771 . Portanto, nós temos que

P 2 x = 0,259771 x 2 + 0,627583 x - 0,908962

Resposta

a )   P 2 x = 1 ∙ x 2 + 3 ∙ x + 2

b )   P 2 x = 3 x 2 - 2,4 x + 0,4

c )   P 2 x = 0,158878 x 2 - 0,931351 x + 1,72353

d )   P 2 x = 1,45896 x 2 + 0,0820770 x + 1,16717

e )     P 2 x = - 0,737518 x 2 + 0,829193 x + 0,488005

f )   P 2 x = 0,259771 x 2 + 0,627583 x - 0,908962