Encontre a aproximação polinomial de mínimos quadrados de grau 2 no intervalo [−1, 1] para as funções no Exercício 3.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Se temos um polinômio do tipo P n x =   ∑ i = 0 n a i x i é o polinômio dos mínimos quadrados de grau n da função f ( x ) em que os coeficientes a i i = 0,1 , … , n são dadas pelas equações normais, com isso

∑ k = 0 n a k   ∫ a b x i + k   d x = ∫ a b x j f x   d x

Para cada j = 0,1 , 2 , … , n

A – Dada a seguinte função

f x = x 2 - 2 x + 3  

No intervalo [ - 1,1 ] , as equações normais são dadas por

a 0 ∫ - 1 1 x 0   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 2   d x = ∫ - 1 1 x 0 x 2 - 2 x + 3   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 3   d x = ∫ - 1 1 x 1 x 2 - 2 x + 3   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 3   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 4   d x = ∫ - 1 1 x 2 x 2 - 2 x + 3   d x

Isso nos dá o seguinte resultado

2 a 0 + 2 3 a 2 = 6.66667

2 3 a 1 = - 1.33333

2 3 a 0 + 2 5 a 2 = 2.40000

Resolvendo isso, nós temos que a 0 = 3.00000 ,     a 1 = - 2.00000 ,     a 2 = 1.00000 . Portanto, nós temos que

P 2 x = 1.00000 x 2 - 2.00000 x + 3.00000

Passo 2

B – Dada a função f x = x 3 no intervalo [ - 1,1 ] , as equações normais são dadas por

a 0 ∫ - 1 1 x 0   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 2   d x = ∫ - 1 1 x 0 x 3   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 3   d x = ∫ - 1 1 x 1 x 3   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 3   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 4   d x = ∫ - 1 1 x 2 x 3   d x

O que nos fornece

2 a 0 + 2 3 a 2 = 0.000000

2 3 a 1 = 0.400000

2 3 a 0 + 2 5 a 2 = 0.000000

Resolvendo isso, nós temos que

a 0 = 0.000000 ,   a 1 = 0.600000   e   a 2 = 0.000000

Portanto

P 2 x = 0.600000 x

Passo 3

C – Dada a função f x = 1 x + 2   no intervalo [ - 1,1 ] , as equações normais são dadas por

a 0 ∫ - 1 1 x 0   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 2   d x = ∫ - 1 1 x 0 1 x + 2   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 3   d x = ∫ - 1 1 x 1 1 x + 2   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 3   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 4   d x = ∫ - 1 1 x 2 1 x + 2   d x

O que nos dá

2 a 0 + 2 3 a 2 = 1.09861

2 3 a 1 = - 0.197225

2 3 a 0 + 2 5 a 2 = 0 . 394449

Resolvendo isso, nós temos que a 0 = 0.496346 ,   a 1 =   - 0.295837   e   a 2 = 0.158878 . Portanto, nós temos que

P 2 x = 0.158878 x 2 - 0.295837 x + 0.496346

Passo 4

D - Dada a função f x = e x   no intervalo [ - 1,1 ] , as equações normais são dadas por

a 0 ∫ - 1 1 x 0   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 2   d x = ∫ - 1 1 x 0 e x   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 3   d x = ∫ - 1 1 x 1 e x   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 3   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 4   d x = ∫ - 1 1 x 2 e x   d x

O que nos dá

2 a 0 + 2 3 a 2 = 2.35040

2 3 a 1 = 0.735759

2 3 a 0 + 2 5 a 2 = 0 . 878885

Resolvendo isso, nós temos que a 0 = 0 . 996294   ,   a 1 =   1 . 10364   e   a 2 = 0 . 536722 . Portanto, nós temos que

P 2 x = 0.536722 x 2 + 1.10364 x + 0 . 996294

Passo 5

E - Dada a função f x = e x   no intervalo [ - 1,1 ] , as equações normais são dadas por

a 0 ∫ - 1 1 x 0   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 2   d x = ∫ - 1 1 x 0 1 2 cos ⁡ ( x ) + 1 3 sin ⁡ 2 x   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 3   d x = ∫ - 1 1 x 1 1 2 cos ⁡ ( x ) + 1 3 sin ⁡ 2 x   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 3   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 4   d x = ∫ - 1 1 x 2 1 2 cos ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 2 x   d x

O que nos dá

2 a 0 + 2 3 a 2 = 0.841471

2 3 a 1 = 0 . 290265

2 3 a 0 + 2 5 a 2 = 0 . 239134

Resolvendo isso, nós temos que a 0 = 0 . 498279   ,   a 1 =   0 . 4 35398   e   a 2 = - 0 . 2 3 263 2 . Portanto, nós temos que

P 2 x = - 0.232632 x 2 + 0.435398 x + 0.498279

Passo 6

F - Dada a função f x = e x   no intervalo [ - 1,1 ] , as equações normais são dadas por

a 0 ∫ - 1 1 x 0   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 2   d x = ∫ - 1 1 x 0 log ⁡ ( x + 2 )   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 1   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 3   d x = ∫ - 1 1 x 1 log ⁡ ( x + 2 )   d x

a 0 ∫ - 1 1 x 2   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 3   d x + a 2 ∫ - 1 1 x 4   d x = ∫ - 1 1 x 2 log ⁡ ( x + 2 )   d x

O que nos dá

2 a 0 + 2 3 a 2 = 1.29584

2 3 a 1 = 0 . 352082

2 3 a 0 + 2 5 a 2 = 0 . 406948

Resolvendo isso, nós temos que a 0 = 0 . 694789   ,   a 1 =   0 . 528122   e   a 2 = - 0 . 140 6 1 2 . Portanto, nós temos que

P 2 x = - 0.140612 x 2 + 0 .   528122 x +   0.694789

Resposta

a )   P 2 x = 1.00000 x 2 - 2.00000 x + 3.00000

b )   P 2 x = 0.600000 x

c )   P 2 x = 0.158878 x 2 - 0.295837 x + 0.496346

d )   P 2 x = 0.536722 x 2 + 1.10364 x + 0.996294

e ) P 2 x = - 0.232632 x 2 + 0.435398 x + 0.498279

f )   P 2 x = - 0.140612 x 2 + 0 .   528122 x +   0.694789