Encontre a aproximação polinomial de mínimos quadrados lineares no intervalo [−1, 1] para as seguintes funções

A. f x = x 2 - 2 x + 3 B. f x = x 3

C. f x = 1 x + 2 D. f x = e x

E. f x = 1 2 cos ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 2 x F. f x = ln ⁡ ( x + 2 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, primeiro vamos lembrar de um conceito específico para resolver essa questão. Se P n x = ∑ i = 0 n a i x i   é o polinômio menos quadrado de grau n da função f(x) então os coeficientes a i ,   i = 0,1 , … , n são dados pelas equações normais

∑ k = 0 n a k ∫ a b x j + k   d x = ∫ a b x j f x   d x

Para cada j = 0,1 , 2 , … , n . Como para todos os problemas, precisamos encontrar o polinômio linear dos mínimos quadrados no intervalo [-1,1], o lado esquerdo da normal será

a 0 ∫ - 1 1 d x + a 1 ∫ - 1 1 x   d x = 2 a 0

a 0 ∫ - 1 1 x   d x + a 1 ∫ - 1 1 x 2   d x = 2 3 a 1

Nós só precisamos encontrar o lado direito das equações normais para determinada função.

Passo 2

A – Dada a introdução, temos que na letra a existe a seguinte função

f x = x 2 - 2 x + 3

Então, as equações normais serão respectivamente

2 a 0 = ∫ - 1 1 f ( x )   d x = ∫ - 1 1 ( x 2 - 2 x + 3 ) d x = 6,66667

2 3 a 1 = ∫ - 1 1 x f ( x ) d x = ∫ - 1 1 x ( x 2 - 2 x + 3 ) d x = - 1,33333

Isto nos fornece a 0 = 3,33333   e   a 1 = - 2,00000 . Portanto, o polinômio quadrado linear é

P 1 x = - 2,00000 x + 3,33333

Passo 3

B – Dada a função f x = x 3 , as equações normais serão iguais a

2 a 0 = ∫ - 1 1 x 0 f x   d x = 0,000000

2 3 a 1 = ∫ - 1 1 x 1 f ( x ) d x = 0,400000

Isto nos fornece a 0 = 0,000000   e   a 1 = 0,600000 . Logo, o polinômio é igual a

P 1 x = 0,600000 x

Passo 4

C – Nesse caso, temos a seguinte função f x = 1 ( x + 2 ) , então as equações normais são

2 a 0 = ∫ - 1 1 x 0 f x d x = 1,09861

2 3 a 1 = ∫ - 1 1 x 1 f ( x ) d x = - 0,197225

Isto nos dá como a resposta os seguintes coeficientes

a 0 = 0,549 306   e   a 1 =   - 0,295837

Portanto, o polinômio é igual a

P 1 x = - 0,295837 x + 0,549306

Passo 5

D – A função é f x = e x , logo, as equações normais são

2 a 0 = ∫ - 1 1 x 0 e x d x = 2,35040

2 3 a 1 = ∫ - 1 1 x 1 e x d x = 0,735759

Isto nos fornece os seguintes coeficientes

a 0 = 1,17520   e   a 1 = 1,10364

Logo, o polinômio é igual a

P 1 x = 1,10364 x + 1,17520

Passo 6

E – A função é igual a f x =   1 2 cos ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 2 x , então as equações normais serão

2 a 0 = ∫ - 1 1 x 0 f x d x = 0,841471

2 3 a 1 = ∫ - 1 1 x 1 f ( x ) d x = 0,290265

Isto nos fornece a 0 = 0,420735   e   a 1 = 0,435398 . Portanto, o polinômio é dado por

P 1 x = 0,435398 x + 0,420735

Passo 7

F – A função é dada por f x = ln ⁡ ( x + 2 ) , logo, as equações serão iguais a

2 a 0 = ∫ - 1 1 x 0 f x d x = 1,29584

2 3 a 1 = ∫ - 1 1 x 1 f ( x ) d x = 0,352082

Isso nos fornece os seguintes polinômios

a 0 = 0,647918   e   a 1 = 0,528122

Logo, o polinômio é igual a

P 1 x = 0,528122 x + 0,647918

Resposta

a )   P 1 x = - 2,00000 x + 3,33333

b )   P 1 x = 0,600000 x

c )   P 1 x = - 0,295837 x + 0,549306

d )   P 1 x = 1,10364 x + 1,17520

e )   P 1 x = 0,435398 x + 0,420735

f )   P 1 x = 0,528122 x + 0,647918