Encontre uma aproximação para λ, com precisão de 10−4, para a equação populacional

1564000 = 1000000 e λ + 435000 λ e λ - 1 .

discutido na introdução deste capítulo. Use esse valor para prever a população no final do

segundo ano, assumindo que a taxa de imigração durante este ano permaneça em 435.000 indivíduos por

ano.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a equação populacional dada por:

1564000 = 1000000 e λ + 435000 λ e λ - 1

Objetivo é determinar um valor aproximado de λ correto até 10 - 4 . Use esse valor aproximado para encontrar a população após 2 anos se a taxa de imigração for de 43.5000 indivíduos por ano.

Reescreva a equação populacional como:

1564000 = 1000000 e λ + 435000 λ e λ - 1 1.564 × 10 6 = 10 6 e λ + 0.435 × 10 6 λ e λ - 1 10 6 e λ + 0.435 × 10 6 λ e λ - 1 - 1.564 × 10 6 = 0

Passo 2

Supondo isso

f ( λ ) = 10 6 e λ + 0.435 × 10 6 λ e λ - 1 - 1.564 × 10 6

Então

f ' ( λ ) = 10 6 e λ + 0.435 × 10 6 - e λ - 1 λ 2 + e λ λ

Use o método newton com aproximação inicial p 0 = 1 como:

p n + 1   = p n - f p n f ' p n   = p n - 10 6 e p n + 0.435 × 10 6 p n e p n - 1 - 1.564 × 10 6 10 6 e p n + 0.435 × 10 6 - e p n - 1 p n 2 + e p n p n   = p n - 10 6 e p n + 0.435 × 10 6 p n e p n - 1 - 1.564 × 10 6 10 6 e p n + - 0.435 × 10 6 p n   2 e p n - 1 + 0.435 × 10 6 p n e p n

Substitua p 0 = 1 (quando n = 0 ) e obtenha a próxima aproximação p 1 . Então use p 1 para p 2 e assim por diante. Use calculadora para os valores aproximados e observe que o valor aproximado do λ correto até 10 - 4 é obtido em p 27 = 0.1010 .

Passo 3

O índice de imigração é de 435000 indivíduos por ano. Então a população P depois de 2 anos, ou seja, t = 2 é:

P = 1000000 e λ t + 435000 λ e λ - 1

Use λ = 0.1010 e obtenha,

P   = 1000000 e 0.1010 × 2 + 435000 0.1010 e 0.1010 - 1   = 1223848.0081 + 457726.13036   ≈ 1681574.14

Resposta

A população após dois anos vai ser aproximadamente 1681574 unidades.