Encontre os autovalores e autovetores associados das seguintes matrizes 3 × 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independentes?

A. 1 0 0 - 1 0 1 - 1 - 1 2 B. 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2

C. 2 1 1 1 2 1 1 1 2 D. 2 1 1 0 3 1 0 0 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Dada a matriz

1 0 0 - 1 0 1 - 1 - 1 2

O polinômio característico é dado por

p λ = 1 - λ 0 0 - 1 - λ 1 - 1 - 1 2 - λ = - λ 3 + 3 λ 2 - 3 λ + 1 = - λ - 1 3

Para os autovalores, nós temos que

λ - 1 3 = 0 → λ = 1

Portanto, os autovalores são λ 1,2 , 3 = 1 . Vamos considerar v ( 1 ) = x 1 , x 2 , x 3 t seja o autovetor associado com λ 1 = 1 . Nós temos que

1 0 0 - 1 0 1 - 1 - 1 2 x 1 x 2 x 3 = λ 1 x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3

Isto nos dá as seguintes equações

x 1 = x 1 - x 1 + x 3 = x 2 - x 1 - x 2 + 2 x 3 = x 3

Da primeira questão, nós podemos escolher qualquer x 1 , escolhendo x 1 = 1 . Da segunda e terceira equação x 1 = x 3 - x 2 . Com esses parâmetros x 3 = 1 , x 2 = 0   o u   x 2 = - 1 ,   x 3 = 0 . Portanto, os autovetores são

v 1 = 1,0 , 1 t ,   v 2 = 1,0 , - 1 t

Como existem apenas dois autovetores que não são paralelos, eles são linearmente independentes.

Passo 2

B – Dada a matriz

2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2

O polinômio característico é dado por

p λ = 2 - λ - 1 - 1 - 1 2 - λ - 1 - 1 - 1 2 - λ =   - λ 3 + 6 λ 2 - 9 λ

Para os autovalores, p λ = 0 , que nos dá

λ λ - 3 2 = 0 → λ = 0,3 , 3

Portanto, os autovalores são λ 1 = 0 ,   λ 2,3 = 3 . Vamos considerar associado com λ 1 = 0 seja o vetor v ( 1 ) = x 1 ,   x 2 , x 3 t , que nos fornece

2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2 x 1 x 2 x 3 = 0

Isto nos dá as seguintes equações,

2 x 1 - x 2 - x 3 = 0 - x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 - x 1 - x 2 + 2 x 3 = 0 → 2 x 1 = x 2 + x 3 2 x 2 = x 1 + x 3 2 x 3 = x 1 + x 2

Escolhendo x 1 = 1 , temos que x 2 = x 3 = 1 é a solução. Portanto, o autovetor v ( 1 ) = 1,1 , 1 t . Escolhendo v ( 2,3 ) = x 1 , x 2 , x 3 t   ser o autovetor associado com λ 2,3 = 3 . Nós temos que

2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2 x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 x 2 x 3

Isto nos dá as seguintes equações

2 x 1 - x 2 - x 3 = 3 x 1 - x 1 + 2 x 2 - x 3 = 3 x 2 - x 1 - x 2 + 2 x 3 = 3 x 3

Todas as equações nos fornecem x 1 + x 2 + x 3 = 0 . Escolhendo x 1 = 1 , nós temos x 2 = 0   e   x 3 = - 1 ou x 2 = - 1   e   x 3 = 0 . Isto nos fornece

v 2 = 1,0 , - 1 t ,   v ( 3 ) = 1 , - 1,0 t

Esses autovetores são linearmente caso

v ( 1 )   v ( 2 )   v ( 3 ) ≠ 0

Calculando a matriz

1 1 1 1 0 - 1 1 - 1 0 = 3 ≠ 0

Logo, são linearmente independentes!

Passo 3

C – Dada a matriz

2 1 1 1 2 1 1 1 2

O polinômio característico é igual a

p λ = 2 - λ 1 1 1 2 - λ 1 1 1 2 - λ = - λ 3 + 6 λ 2 - 9 λ + 4

Para os autovalores, p λ = 0 , o que nos fornece

- λ 3 + 6 λ 2 - 9 λ + 4 = 0 → λ = 1,1 , 4

Portanto, os autovalores são λ 1,2 = 1 ,   λ 3 = 4 . Fazendo o autovetor associado com λ 1,2 = 1 ser v ( 1 ) = x 1 , x 2 , x 3 t . O que nos fornece

2 1 1 1 2 1 1 1 2 x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3

Com isso, temos as seguintes equações

2 x 1 + x 2 + x 3 = x 1 x 1 + 2 x 2 + x 3 = x 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 = x 3 →   x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 + x 1 + x 3 = 0 x 3 + x 1 + x 2 = 0

Escolhendo x 1 = 1 temos que x 2 = 0 , x 3 = - 1 ou x 2 = - 1   e   x 3 = 0 . Isto nos fornece v ( 1 ) = 1,0 , - 1 t e v ( 2 ) = ( 1 , - 1,0 ) . Vamos agora considerar v ( 3 ) = x 1 , x 2 , x 3 t ser o autovetor associado com λ 3 = 4 . Nós temos que

2 1 1 1 2 1 1 1 2 x 1 x 2 x 3 = 4 x 1 x 2 x 3

Isto nos fornece as seguintes equações

2 x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 4 x 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 4 x 3

Colocando x 1 = 1 nos fornece x 2 = x 3 = 1 . Então o autovetor é v ( 3 ) = 1,1 , 1 t . Os autovetores são linearmente independentes se

v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) = 1 1 1 0 - 1 1 - 1 0 1 = - 3 ≠ 0

Passo 4

D – Dada a matriz

2 1 1 0 3 1 0 0 2

Vamos descobrir a equação do polinômio característico, que é dado por

p λ = 2 - λ 1 1 0 3 - λ 1 0 0 2 - λ = - λ 3 + 7 λ 2 - 16 λ + 12  

Colocando p λ = 0 nos fornece λ 1 = λ 2 = 2   e   λ 3 = 3 . Deixando v ( 1 ) = x 1 , x 2 , x 3 t ser o autovetor associado com o autovalor 2, isto nos dá

2 1 1 0 3 1 0 0 2 x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 x 3

Logo, as equações serão as seguintes

2 x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 3 x 2 + x 3 = 2 x 2 2 x 3 = 2 x 3

A primeira e a segunda nos dão x 2 + x 3 = 0 e o x 1 pode ser escolhido livremente na primeira equação. Vamos escolher x 2 = 1 , logo x 3 = - 1 . Então, os autovetores são v ( 1 ) = 0,1 , - 1 t e v ( 2 ) = 1,1 , - 1 t . Para o autovetor correspondente a λ 3 = 3 , nós temos que

2 1 1 0 3 1 0 0 2 x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 x 2 x 3

Isto nos fornece

2 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 3 x 2 + x 3 = 3 x 2 2 x 3 = 3 x 3

A segunda e a última equação nos dão que x 3 = 0 . Da primeira equação, x 1 = x 2 + x 3 → x 1 = x 2 = 1 . Isto nos fornece v ( 3 ) = 1,1 , 0 t . Os autovetores são linearmente independentes caso

v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) = 0 1 1 1 1 1 - 1 - 2 0 = - 2 ≠ 0

Logo, são LI!! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)