Encontre os autovalores e autovetores associados das seguintes matrizes 3 × 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independentes?
A. B.
C. D.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A – Dada a matriz
O polinômio característico é dado por
Para os autovalores, nós temos que
Portanto, os autovalores são . Vamos considerar seja o autovetor associado com . Nós temos que
Isto nos dá as seguintes equações
Da primeira questão, nós podemos escolher qualquer , escolhendo . Da segunda e terceira equação . Com esses parâmetros . Portanto, os autovetores são
Como existem apenas dois autovetores que não são paralelos, eles são linearmente independentes.
Passo 2
B – Dada a matriz
O polinômio característico é dado por
Para os autovalores, , que nos dá
Portanto, os autovalores são . Vamos considerar associado com seja o vetor , que nos fornece
Isto nos dá as seguintes equações,
Escolhendo , temos que é a solução. Portanto, o autovetor . Escolhendo ser o autovetor associado com . Nós temos que
Isto nos dá as seguintes equações
Todas as equações nos fornecem . Escolhendo , nós temos ou . Isto nos fornece
Esses autovetores são linearmente caso
Calculando a matriz
Logo, são linearmente independentes!
Passo 3
C – Dada a matriz
O polinômio característico é igual a
Para os autovalores, , o que nos fornece
Portanto, os autovalores são . Fazendo o autovetor associado com ser . O que nos fornece
Com isso, temos as seguintes equações
Escolhendo temos que ou . Isto nos fornece e . Vamos agora considerar ser o autovetor associado com . Nós temos que
Isto nos fornece as seguintes equações
Colocando nos fornece . Então o autovetor é . Os autovetores são linearmente independentes se
Passo 4
D – Dada a matriz
Vamos descobrir a equação do polinômio característico, que é dado por
Colocando nos fornece . Deixando ser o autovetor associado com o autovalor 2, isto nos dá
Logo, as equações serão as seguintes
A primeira e a segunda nos dão e o pode ser escolhido livremente na primeira equação. Vamos escolher , logo . Então, os autovetores são e . Para o autovetor correspondente a , nós temos que
Isto nos fornece
A segunda e a última equação nos dão que . Da primeira equação, . Isto nos fornece . Os autovetores são linearmente independentes caso
Logo, são LI!! 😊
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)