Encontre os autovalores e autovetores associados das seguintes matrizes 3 × 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independentes?
A. B.
C. D.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A – Dada a matriz
Os autovalores são dados pelo polinômio característico (sim, o volta), então, nós temos que
Fazendo a expansão do determinante, nós temos que
Resolvendo esta equação, obtemos . Portanto, os autovalores são respectivamente
Vamos fazer o seguinte a partir, tendo como o autovetor associado com , nós temos que
Isso nos dá as seguintes equações
A primeira equação nos dá . Logo, as outras duas equações são iguais a
Portanto, e . Pegando , logo . Então, o
autovetor necessário é
Passo 2
De modo similar, para a associação de é dada por
O que nos dá o seguinte sistema de equações
A primeira equação nos dá e as outras duas equações nos fornecem o seguinte sistema
Portanto , escolhendo nós temos que , então
Finalmente, o autovetor associado com é dado por
O que nos dá as seguintes equações
O que pode ser reduzido para
A única solução deste sistema é , enquanto pode ser arbitrariamente escolhido, então vamos escolher o mais simples . Portanto, o autovetor requerido é igual a
Passo 3
B – Dada a matriz
O polinômio característico é dado por
Para os autovalores, vamos igualar , com isso, nós temos que
Portanto, os autovalores são . Fazendo ser autovetor associado com . Nós temos que
O que nos dá as seguintes equações
A primeira e a última equações nos dão que então vamos escolher , logo, . A única solução da segunda equação é , portanto, o autovetor é igual a .
Para o autovetor associado com o autovalor , nós temos que
Que nos dá as seguintes equações
A primeira e a última equações nos dão que e qualquer valor de vale para a segunda equação, então vamos escolher o mais simples , logo, nós temos que
Finalmente, o autovetor associado com é dado por
O que nos dá as seguintes equações
A primeira e a última equações nos dá e a segunda equação nos dá . Escolhendo , nós temos que
Analisando se os autovalores são independentes, nós obtemos o seguinte resultado
Como são LI, são independentes!
Passo 4
C – Dada a matriz
O polinômio característico é igual a
Para os autovalores, temos que , o que nos dá
Para o autovetor associado com , temos que
O que nos dá o seguinte sistema de equações
A segunda e última equações nos fornecem e a primeira equação nos dá . Escolhendo , o que nos dá .
Para o autovetor associado com o autovalor , nós temos que
O que nos dá
A segunda e última equações nos fornecem . Escolhendo , o que nos dá .
Para o autovetor associado com , nós temos que
Temos as seguintes equações
A segunda e última equações nos fornecem . Escolhendo , o que nos dá . Os autovalores são independentes desde que
Logo, são independentes!!
Passo 5
D – Dada a matriz
O polinômio característico é dado por
Fazendo para encontrar os autovalores, nós obtemos o seguinte resultado
Logo, , agora vamos associar o autovetor para cada termo lambda, para o caso de , nós temos que
Isto nos dá as seguintes equações
A última equação nos dá . Na primeira equação, pode ser escolhido de maneira livre então vamos escolher . Isto nos dá a informação que . Portanto,
Finalmente, o autovetor associado com é dado por
Então, temos as seguintes equações
Da segunda equação, e da primeira equação nos dá , logo . Portanto,
Resposta
Resposta nos passos