Encontre os autovalores e autovetores associados das seguintes matrizes 3 × 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independentes?

A. A =   2 - 3 6 0 3 - 4 0 2 - 3 B. A = 2 0 1 0 2 0 1 0 2

C. A = 1 1 1 1 1 0 1 0 1 D. A = 2 1 - 1 0 2 1 0 0 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Dada a matriz

A =   2 - 3 6 0 3 - 4 0 2 - 3

Os autovalores são dados pelo polinômio característico (sim, o λ volta), então, nós temos que

det ⁡ 2 - 3 6 0 3 - 4 0 2 - 3 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 2 - λ - 3 6 0 3 - λ - 4 0 2 - 3 - λ = 0

Fazendo a expansão do determinante, nós temos que

- 2 - λ λ + 3 λ - 3 + 8 = 0

Resolvendo esta equação, obtemos λ =   - 1,1   e   2 . Portanto, os autovalores são respectivamente

λ 1 = 1 ,   λ 2 = - 1   e   λ 3 = 2

Vamos fazer o seguinte a partir, tendo v ( 1 ) = x 1 , x 2 , x 3 t como o autovetor associado com λ 1 = 1 , nós temos que

2 - 3 6 0 3 - 4 0 2 - 3 x 1 x 2 x 3 = λ 1 x 1 x 2 x 3 =   x 1 x 2 x 3

Isso nos dá as seguintes equações

2 x 1 - 3 x 2 + 6 x 3 = x 1 3 x 2 - 4 x 3 = x 2 2 x 2 - 3 x 3 = x 3

A primeira equação nos dá x 1 = 3 x 2 - 6 x 3 . Logo, as outras duas equações são iguais a

2 x 2 - 4 x 3 = 0 2 x 2 - 4 x 3 = 0

Portanto, x 2 = 2 x 3 e x 1 = 3 x 2 - 2 x 3 = 0 . Pegando x 3 = 1 , logo x 2 = 2 . Então, o

autovetor necessário é

v 1 = 0,2 , 1 t

Passo 2

De modo similar, para a associação de λ 2 =   - 1 é dada por

2 - 3 6 0 3 - 4 0 2 - 3 x 1 x 2 x 3 =   - x 1 x 2 x 3

O que nos dá o seguinte sistema de equações

2 x 1 - 3 x 2 + 6 x 3 = - x 1 3 x 2 - 4 x 3 = - x 2 2 x 2 - 3 x 3 = - x 3

A primeira equação nos dá x 1 = x 2 - 2 x 3 e as outras duas equações nos fornecem o seguinte sistema

4 x 2 - 4 x 3 = 0 2 x 2 - 2 x 3 = 0

Portanto x 2 = x 3 , escolhendo x 2 = x 3 = 1 nós temos que x 1 =   - 1 , então

v ( 2 ) = - 1,1 , 1 t

Finalmente, o autovetor v ( 3 ) = x 1 , x 2 , x 3 t associado com λ 3 = 2   é dado por

2 - 3 6 0 3 - 4 0 2 - 3 x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 x 3

O que nos dá as seguintes equações

2 x 1 - 3 x 2 + 6 x 3 = 2 x 1 3 x 2 - 4 x 3 = 2 x 2 2 x 2 - 3 x 3 = 2 x 3

O que pode ser reduzido para

- 3 x 2 + 6 x 3 = 0 x 2 - 4 x 3 = 0 2 x 2 - 5 x 3 = 0

A única solução deste sistema é x 2 = x 3 = 0 , enquanto x 1 pode ser arbitrariamente escolhido, então vamos escolher o mais simples x 1 = 1 . Portanto, o autovetor requerido é igual a

v ( 3 ) = 1,0 , 0 t

Passo 3

B – Dada a matriz

A = 2 0 1 0 2 0 1 0 2

O polinômio característico é dado por

p λ = 2 - λ 0 1 0 2 - λ 0 1 0 2 - λ = - λ 3 + 6 λ 2 - 11 λ + 6

Para os autovalores, vamos igualar p λ = 0 , com isso, nós temos que

- 2 - λ λ + 3 λ - 3 + 8 = 0

Portanto, os autovalores são λ 1 = 1 , λ 2 = 2   e   λ 3 = 3 . Fazendo v ( 1 ) = x 1 , x 2 , x 3 t ser autovetor associado com λ 1 = 1 . Nós temos que

2 0 1 0 2 0 1 0 2 x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3

O que nos dá as seguintes equações

2 x 1 + x 3 = x 1 2 x 2 = x 2 x 1 + 2 x 3 = x 3

A primeira e a última equações nos dão que x 1 + x 3 = 0 então vamos escolher x 3 = - 1 , logo, x 1 = 1 . A única solução da segunda equação é x 2 = 0 , portanto, o autovetor é igual a v ( 1 ) = 1,0 , - 1 t .

Para o autovetor v ( 2 ) = x 1 , x 2 , x 3 t associado com o autovalor λ 2 = 2 , nós temos que

2 0 1 0 2 0 1 0 2 x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 x 3

Que nos dá as seguintes equações

2 x 1 + x 3 = 2 x 1 2 x 2 = 2 x 2 x 1 + 2 x 3 = 2 x 3

A primeira e a última equações nos dão que x 1 = x 3 = 0 e qualquer valor de x 2 vale para a segunda equação, então vamos escolher o mais simples x 2 = 1 , logo, nós temos que

v 2 = 0,1 , 0 t

Finalmente, o autovetor v ( 3 ) = x 1 , x 2 , x 3 t associado com λ 3 = 3 é dado por

2 0 1 0 2 0 1 0 2 x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 x 2 x 3

O que nos dá as seguintes equações

2 x 1 + x 3 = 3 x 1 2 x 2 = 3 x 2 x 1 + 2 x 3 = 3 x 3

A primeira e a última equações nos dá x 1 = x 3 e a segunda equação nos dá x 2 = 0 . Escolhendo x 1 = 1 , nós temos que

v ( 3 ) = 1,0 , 1 t

Analisando se os autovalores são independentes, nós obtemos o seguinte resultado

v 1 v 2 v 3 = 1 0 1 0 1 0 - 1 0 1 = 2 ≠ 0

Como são LI, são independentes!

Passo 4

C – Dada a matriz

1 1 1 1 1 0 1 0 1

O polinômio característico é igual a

p λ = 1 - λ 1 1 1 1 - λ 0 1 0 1 - λ = - λ 3 + 3 λ 2 - λ - 1

Para os autovalores, temos que p λ = 0 , o que nos dá

- λ 3 + 3 λ 2 - λ - 1 = 0 → λ = 1 ,   1 + 2 ,   1 - 2

Para o autovetor v ( 1 ) = x 1 , x 2 , x 3 t associado com λ 1 = 1 , temos que

1 1 1 1 1 0 1 0 1 x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3

O que nos dá o seguinte sistema de equações

x 1 + x 2 + x 3 = x 1 x 1 + x 2 = x 2 x 1 + x 3 = x 3

A segunda e última equações nos fornecem x 1 = 0 e a primeira equação nos dá x 2 = - x 3 . Escolhendo x 2 = - x 3 = 1 , o que nos dá v ( 1 ) = 0,1 , - 1 t .

Para o autovetor v ( 2 ) = x 1 , x 2 , x 3 t associado com o autovalor λ 2 = 1 + 2 , nós temos que

1 1 1 1 1 0 1 0 1 x 1 x 2 x 3 = 1 + 2 x 1 x 2 x 3

O que nos dá

x 1 + x 2 + x 3 = 1 + 2 x 1 x 1 + x 2 = 1 + 2 x 2 x 1 + x 3 = 1 + 2 x 3

A segunda e última equações nos fornecem x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 . Escolhendo x 2 = 1 , o que nos dá v ( 1 ) = 2 , 1,1 t .

Para o autovetor associado com λ = 1 - 2 , nós temos que

1 1 1 1 1 0 1 0 1 x 1 x 2 x 3 = 1 - 2 x 1 x 2 x 3

Temos as seguintes equações

x 1 + x 2 + x 3 = 1 - 2 x 1 x 1 + x 2 = 1 - 2 x 2 x 1 + x 3 = 1 - 2 x 3

A segunda e última equações nos fornecem x 1 = - 2 x 2 = - 2 x 3 . Escolhendo x 2 = 1 , o que nos dá v ( 1 ) = - 2 , 1,1 t . Os autovalores são independentes desde que

v 1 v 2 v 3 = 0 2 - 2 1 1 1 - 1 1 1 = - 4 2 ≠ 0

Logo, são independentes!!

Passo 5

D – Dada a matriz

2 1 - 1 0 2 1 0 0 3

O polinômio característico é dado por

2 - λ 1 - λ - 1 - λ 0 2 - λ 1 - λ   0 0 3 - λ = - λ 3 + 7 λ 2 - 16 λ + 12  

Fazendo p λ = 0 para encontrar os autovalores, nós obtemos o seguinte resultado

- 2 - λ λ + 3 λ - 3 + 8 =   0

Logo, λ = 2,2 , 3 , agora vamos associar o autovetor v ( k ) = x 1 , x 2 , x 3 t   para cada termo lambda, para o caso de λ 1 = 2 , nós temos que

2 1 - 1 0 2 1 0 0 3 x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 x 3

Isto nos dá as seguintes equações

2 x 1 + x 2 - x 3 = 2 x 1 2 x 2 + x 3 = 2 x 2 3 x 3 = 2 x 2

A última equação nos dá x 3 = 0 . Na primeira equação, x 1 pode ser escolhido de maneira livre então vamos escolher x 1 = 1 . Isto nos dá a informação que x 2 = x 3 = 0 . Portanto,

v ( 1,2 ) = 1,0 , 0 t

Finalmente, o autovetor v ( 3 ) = x 1 , x 2 , x 3 t associado com λ 3 = 3 é dado por

2 1 - 1 0 2 1 0 0 3 x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 x 2 x 3

Então, temos as seguintes equações

2 x 1 + x 2 - x 3 = 3 x 1 2 x 2 + x 3 = 3 x 2 3 x 3 = 3 x 3

Da segunda equação, x 2 = x 3 e da primeira equação nos dá 2 x 1 = 3 x 1 , logo x 1 = 0 . Portanto,

v ( 3 ) = 0,1 , 1 t

Resposta

Resposta nos passos