Encontre o enésimo polinômio de Maclaurin Pn(x) para f (x) = arctan x.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere que o polinômio p 2 ( x ) = 1 - 1 2 x 2 deve ser usado para aproximar-se f ( x ) = c o s ⁡ x em

- 1 2 , 1 2

O objetivo é encontrar um limite para o erro máximo.

Passo 2

Assumindo f ( x ) = c o s ⁡ x

Calcular as derivadas de ordem superior de f ( x )

f ' ( x ) = - s i n ⁡ x f ' ' ( x ) = - c o s ⁡ x f ' ' ' ( x ) = s i n ⁡ x f ' ' ( x ) = c o s ⁡ x

Da série de Maclaurin:

f ( x ) = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) ( x - 0 ) + f ' ' ( 0 ) 2 ! ( x - 0 ) 2 + f ' ' ' ( ξ ( x ) ) 3 ! ( x - 0 ) 3 c o s ⁡ x = c o s ⁡ 0 + x ( - s i n ⁡ 0 ) + x 2 - c o s ⁡ 0 2 + x 3 3 ! s i n ⁡ ξ ( x ) c o s ⁡ x ⏟ f ( x ) = 1 - x 2 2 ⏟ P 2 ( x ) + x 3 3 ! s i n ⁡ ξ ( x ) ⏟ R 2 ( x )

Passo 3

o erro vinculado a f ( x ) = P 2 ( x ) + R 2 ( x )

R 2 ( x )   = f ( x ) - P 2 ( x )   = c o s ⁡ x - 1 + x 2 2

É necessário encontrar

M a x x �� - 1 2 , 1 2 f ( x ) - P 2 ( x )

Passo 4

Deixe g ( x ) = c o s ⁡ x - 1 + x 2 2 Encontrar o valor absoluto máximo do g ( x ) = c o s ⁡ x - 1 + x 2 2 intervalo - 1 2 , 1 2 . Como g ( x ) = c o s ⁡ x - 1 + x 2 2 obter,

g ' ( x )   = - s i n ⁡ x - 0 + 1 2 ( 2 x )   = - s i n ⁡ x + x

Encontre o ponto crítico resolvendo g ' ( x ) = 0 .

g ' ( x )   = 0   significa que   - s i n ⁡ x + x = 0 s i n ⁡ x   = x x   = 0

O ponto g ( x ) crítico é - 1 2 , 1 2 , x = 0 .

Passo 5

Compute g ( x ) no ponto crítico x = 0 e nos limites do intervalo fechado - 1 2 , 1 2 .

Em ponto crítico x = 0 ,

g ( 0 )   = c o s ⁡ ( 0 ) - 1 + ( 0 ) 2 2   = 1 - 1 + 0   = 0

Nos limites,

g - 1 2   = c o s ⁡ - 1 2 - 1 + - 1 2 2 2   = c o s ⁡ 1 2 - 1 + 1 8   ≈ 0.0026 g 1 2   = c o s ⁡ 1 2 - 1 + 1 2 2 2   = c o s ⁡ 1 2 - 1 + 1 8   ≈ 0.0026

O valor absoluto máximo de g ( x ) = c o s ⁡ x - 1 + x 2 2 através do intervalo - 1 2 , 1 2 é 0.0026 .

Ou seja,

M a x x ∈ - 1 / 2,1 / 2 ⁡ f ( x ) - P 2 ( x ) ≤ 0.0026

portanto, um limite para o erro máximo é, 0.0026 .

Resposta

um limite para o erro máximo é, 0.0026 .