Encontre intervalos contendo soluções para as seguintes equações.

a. x   −   3 - x   =   0

b. 4 x 2   −   e x   =   0

c. x 3   −   2 x 2   −   4 x   +   2   =   0

d. x 3 +   4,001 x 2     +   4,002 x   +   1,101   =   0

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário! Para quem não lembra, o TVI afirma que existe um valor c no intervalo [ a , b ] tal que f ( c ) = 0 se f ( a ) e f ( b ) possuírem sinais opostos.

Ainda tá confuso? Isso significa que se f ( a ) e f ( b ) possuírem sinais diferentes, então a equação f ( x ) = 0 possui pelo menos uma solução no intervalo [ a , b ] !

Logo, teremos que tentar alguns intervalos até que algum deles satisfaça a TVI, beleza?

Passo 2

Na letra (a), vamos tentar o intervalo [ 0,1 ] . Para f ( x ) = x   −   3 - x , obtemos:

f ( a ) = f ( 0 ) = 0 - 3 0 = - 1

f ( b ) = f ( 1 ) = 1 - 3 - 1 = 1,333

Segundo o TVI, como f ( a ) < 0 e f ( b ) > 0 , sabemos que f ( x ) = 0 em algum ponto do intervalo [ 0,1 ] .

Vamos repetir essa ideia para as demais equações. Na letra (b), vamos tentar o intervalo [ 4,5 ] . Para f ( x ) = 4 x 2   −   e x , temos f ( 4 ) = 9,40185 e f ( 5 ) = - 48,41316 . Como os sinais são distintos nos pontos calculados, a equação da letra (b) possui uma solução no intervalo proposto.

Na letra (c), vamos tentar o intervalo [ 2,4 ] . Para f ( x ) = x 3   −   2 x 2   −   4 x   +   2 , temos f ( 2 ) = - 6 e f ( 4 ) = 18 . Como os sinais são distintos nos pontos calculados, a equação da letra (c) possui uma solução no intervalo proposto.

Na letra (d), vamos tentar o intervalo [ - 0,5 ; 0 ] . Para f ( x ) = x 3 +   4,001 x 2     +   4,002 x   +   1,101   , temos f ( - 0,5 ) = - 0,02475 e f ( 0 ) = 1,101 . Como os sinais são distintos nos pontos calculados, a equação da letra (d) possui uma solução no intervalo proposto.

Vale ressaltar que os intervalos escolhidos não são as únicas respostas possíveis para este exercício. Qualquer intervalo que satisfaça o TVI vale também, beleza?

Resposta

a. [ 0,1 ]

b. [ 4,5 ]

c. [ 2,4 ]

d. [ - 0,5 ; 0 ]