Encontre as normas e dos vetores.
A.
B.
C. para um inteiro positivo fixo k
D. para um inteiro positivo fixo k
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Relembrando que as normas e dos vetores são dadas pelas seguintes relações
A – Para a letra a, temos a seguinte configuração
E no caso da norma
Passo 2
B – Para a letra b, mesmo raciocínio análogo
E para a norma de , nós temos que
Passo 3
C – No caso da letra c
Entenda que essa resposta é possível uma vez que e são sempre , enquanto é sempre maior que 2, para um número inteiro positivo k. Já para a norma de , nós temos que
Passo 4
D – Essa é bem mais longa, mas vamos lá. Primeiro com a norma de , temos que
Nesse caso, vamos ter que provar que e para um inteiro positivo k. Para o primeiro caso, nós temos que
Desenvolvendo o termo, nós obtemos a seguinte configuração
Logo, nós temos que
O que é verdade para todos os inteiros positivos (Primeira parte concluída).
Passo 5
Para a segunda parte, podemos reescrever da seguinte forma
Agora assumimos que vale para algum k e queremos mostrar que vale para k+1 (é uma prova por indução)
Desenvolvendo um pouco mais esse termo
Com isso, nós temos que
As raízes para esta equação são respectivamente
O que nos dá aproximadamente e , então a inequação será válida para , isto é, para positivos inteiros k acima de 3. Logo, para essa condição realmente é maior que as outras duas condições.
Para a norma de , nós temos que
Desenvolvendo a raíz, obtemos