Encontre as normas l ∞   e l 2 dos vetores.

A. x = 3 ,     - 4 ,   0 , 3 2 t

B. x = 2 ,   1 ,   - 3 ,   4 t

C. x = sin ⁡ k , cos ⁡ k ,   2 k para um inteiro positivo fixo k

D. x = 4 k + 1 , 2 k 2 ,   k 2 e - k t para um inteiro positivo fixo k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Relembrando que as normas l ∞ e l 2 dos vetores são dadas pelas seguintes relações

x ∞ = max 1 ≤ i ≤ n ⁡ x i   e   x 2 = ∑ i = 1 n x i 2

A – Para a letra a, temos a seguinte configuração

3 ,     - 4 ,   0 , 3 2 t ∞ = max ⁡ 3 ,   - 4 ,   0 ,   3 2   = 4

E no caso da norma l 2

3 ,     - 4 ,   0 , 3 2 t 2 = 3 2 + - 4 2 + 0 2 + 3 2 2 = 109 2 ≈ 5.22

Passo 2

B – Para a letra b, mesmo raciocínio análogo

2 ,   1 ,   - 3 ,   4 t ∞ = max ⁡ 2 ,   1 ,   - 3 ,   4 = 4

E para a norma de l 2 , nós temos que

2 ,   1 ,   - 3 ,   4 t 2 = 2 2 + 1 2 + - 3 2 + 4 2 = 30 ≈ 5.48

Passo 3

C – No caso da letra c

sin ⁡ k , cos ⁡ k ,   2 k ∞ = max ⁡ sin ⁡ k | ,   cos ⁡ k ,   2 k = 2 k

Entenda que essa resposta é possível uma vez que s e n   k e cos ⁡ k são sempre ≤ 1 , enquanto 2 k é sempre maior que 2, para um número inteiro positivo k. Já para a norma de l 2 , nós temos que

sin ⁡ k , cos ⁡ k ,   2 k 2 = sin 2 ⁡ k + cos 2 ⁡ k + 2 k 2 = 1 + 2 2 k

Passo 4

D – Essa é bem mais longa, mas vamos lá. Primeiro com a norma de l ∞ , temos que

4 k + 1 , 2 k 2 ,   k 2 e - k t ∞ = max ⁡ { 4 k + 1 ,   2 k 2 ,   k 2 e - k } = 4 k + 1

Nesse caso, vamos ter que provar que 4 k + 1 ≥ 2 k 2 e 4 k + 1 ≥ k 2 e - k para um inteiro positivo k. Para o primeiro caso, nós temos que

4 k + 1 ≥ 2 k 2

Desenvolvendo o termo, nós obtemos a seguinte configuração

4 k 2 ≥ 2 k + 1   ⟺ 2 k 2 - k - 1

Logo, nós temos que

2 k + 1 k - 1 ≥ 0

O que é verdade para todos os inteiros positivos (Primeira parte concluída).

Passo 5

Para a segunda parte, podemos reescrever da seguinte forma

4 k + 1 ≥ k 2 e - k   ⇔ 4 e k ≥ k 3 + e 3

Agora assumimos que 4 e k ≥ k 3 + e 3 vale para algum k e queremos mostrar que vale para k+1 (é uma prova por indução)

4 e k + 1 = e 4 e k ≥ e k 3 + k 2 ≥ k + 1 3 + k + 1 2

Desenvolvendo um pouco mais esse termo

e k 3 + k 2 ≥ k + 1 3 + k + 1 2 → e k 2 ≥ k + 1 2 + ( k + 1 )

Com isso, nós temos que

e - 1 k 2 - 3 k - 2 ≥ 0

As raízes para esta equação são respectivamente

k 1,2 = 3 ± 8 e + 1 2 ( e - 1 )

O que nos dá aproximadamente k 1 ≈ - 0.51 e k 2 ≈ 2.26 , então a inequação será válida para k > 2.26 , isto é, para positivos inteiros k acima de 3. Logo, para essa condição 4 k + 1 realmente é maior que as outras duas condições.

Para a norma de l 2 , nós temos que

4 k + 1 , 2 k 2 ,   k 2 e - k t 2 = 4 k + 1 2 + 2 k 2 2 + k 2 e - k 2

Desenvolvendo a raíz, obtemos

4 k + 1 , 2 k 2 ,   k 2 e - k t 2 = 16 k + 1 2 + 4 k 4 + k 4 e - 2 k

Resposta

a )   x ∞ = 4 ;     x 2 = 109 2

b )   x ∞ = 4 ;   x 2 =   30

c )   x ∞ = 2 k ;   x 2 =   1 + 2 2 k

d )   x ∞ = 4 k + 1 ;   x 2 =   16 k + 1 2 + 4 k 4 + k 4 e - 2 k