Encontre m a x a ≤ x ≤ b | f ( x ) | para as seguintes funções e intervalos.

a. f   ( x )   =   ( 2   −   e x   +   2 x ) / 3 ,   [ 0 ,   1 ]  

b. f   ( x )   =   ( 4 x   −   3 ) / ( x 2   −   2 x ) ,   [ 0,5 ;   1 ]

c. f   ( x )   =   2 x   c o s ( 2 x )   −   ( x   −   2 ) 2 ,   [ 2 ,   4 ]

d. f   ( x )   =   1   +   e −   c o s ( x − 1 )   ,   [ 1 ,   2 ]

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Bom, de acordo com o Teorema do Valor Extremo, se f é uma função contínua no intervalo [ a , b ] , então f possui valores de máximo e mínimo globais em [ a , b ] . Esses valores podem ocorrer nas extremidades do intervalo ou em algum ponto intermediário x . No último caso, devemos ter f ' ( x ) = 0 .

Vamos então fazer uma verificação letra por letra, beleza?

Passo 2

Na letra (a), temos que f ( x ) = 2   -   e x   +   2 x 3 , f ' ( x ) = - e x + 2 3 , a = 0 e b = 1 . Nas extremidades do intervalo, temos:

| f ( a ) | = | f ( 0 ) | = | 2   -   e 0   +   2 ⋅ 0 3 | = 1 / 3

| f ( b ) | = | f ( 1 ) | = | 2   -   e 1   +   2 ⋅ 1 3 | = 0,42724

Nos pontos críticos, temos:

f ' ( x ) = 0 ⇒ - e x + 2 3 = 0 ⇒ e x = 2 ⇒ x = l n ( 2 )

| f ( x ) | = | f ( l n ( 2 ) ) | = | 2   -   e l n ( 2 )   +   2 ⋅ l n ( 2 ) 3 | = 0,46210

Logo, o valor máximo de | f ( x ) | em [ 0,1 ] é de 0,46210 . Tranquilo, né?

Vamos então para letra (b), onde f ( x ) = 4 x   -   3   x 2   -   2 x , f ' ( x ) = - 4 x 2 + 6 x - 6 ( x 2 - 2 x ) 2 , a = 0,5 e b = 1 . Temos que:

| f ( a ) | = | f ( 0,5 ) | = | 4 ( 0,5 )   -   3   0,5 2   -   2 ( 0,5 ) | = 1,33333

| f ( b ) | = | f ( 1 ) | = | 4 ( 0,5 )   -   3   0,5 2   -   2 ( 0,5 ) | = 1

f ' ( x ) = 0 ⇒ - 4 x 2 + 6 x - 6 ( x 2 - 2 x ) 2 = 0 ⇒ x = 3 ± i 15 4

Como o ponto crítico é imaginário, iremos considerar apenas os valores nas extremidades. Logo, o valor máximo de | f ( x ) | em [ 0,5 ; 1 ] é de 1,33333 .

Na letra (c), temos f ( x ) = 2 x   c o s ( 2 x )   −   ( x   −   2 ) 2 , f ' ( x ) = - 2 x - 4 x s e n ( x ) + 2 c o s ( 2 x )   +   4   , a = 2 e b = 4 . Assim, obtemos:

| f ( a ) | = | f ( 2 ) | = | 2 ( 2 )   c o s ( 4 )   −   ( 2   −   2 ) 2 | = 2,61457

| f ( b ) | = | f ( 4 ) | = | 2 ( 4 )   c o s ( 8 )   −   ( 4   −   2 ) 2 | = 5,16400

f ' ( x ) = 0 ⇒ - 2 x - 4 x s e n ( x ) + 2 c o s ( 2 x )   +   4 = 0 ⇒ x = 3,13100

| f ( x ) | = | f ( 3,131 ) | = | 2 ( 3,131 )   c o s ( 2 ⋅ 3,131 )   −   ( 3,131 −   2 ) 2 | = 4,98143

Logo, o valor máximo de | f ( x ) | em [ 2,4 ] é de 5,16400 .

Na letra (d), temos f ( x ) = 1   +   e −   c o s ( x − 1 ) , f ' ( x ) = e - c o s ( x - 1 ) s e n ( x - 1 )   , a = 1 e b = 2 . Assim, obtemos:

| f ( a ) | = | f ( 1 ) | = | 1   +   e −   c o s ( 1 − 1 ) | = 1,36788

| f ( b ) | = | f ( 2 ) | = | 1   +   e −   c o s ( 2 − 1 ) | = 1,58257

f ' ( x ) = 0 ⇒ e - c o s ( x - 1 ) s e n ( x - 1 ) = 0 ⇒ x = 1 (já calculamos)

Logo, o valor máximo de | f ( x ) | em [ 2,4 ] é de 1,58257 .

Resposta

a. 0,46210

b. 1,33333

c. 5,16400

d. 1,58257