Encontre o segundo polinômio de Taylor P 2 ( x )   para a função f ( x )   = e x c o s ( x ) sobre x 0 = 0 .

a. Use P 2 ( 0,5 ) para aproximar f ( 0,5 )   . Encontre um limite superior para erro | f ( 0,5 ) - P 2 ( 0,5 | usando a fórmula de erro e compare-a com o erro real.

b. Encontre um limite para o erro | f ( x ) - P 2 ( x ) | ao usar P 2 ( x ) para aproximar   f ( x ) no intervalo [ 0,1 ] .

c. Aproxime ∫ 0 1 f ( x )   d ( x )   usando ∫ 0 1 P 2 ( x )   d ( x ) .

d. Encontre um limite superior para o erro em (c) usando ∫ 0 1 | R 2 ( x )   d ( x ) | , e compare o limite com o erro real.

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Inicialmente, lembrem-se que a função f ( x ) pode ser reescrita da seguinte forma:

f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x )

Sendo P n ( x ) o polinômio de Taylor de grau n e R n ( x ) o erro.

O polinômio de Taylor para n = 2 e x 0 = 0 é dado por:

P 2 ( x ) = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) + f ' ' ( x 0 ) 2 ( x - x 0 ) 2 =

= e x 0 c o s ( x 0 ) + ( e x 0 c o s ( x 0 ) - e x 0 s e n ( x 0 ) ) ( x - x 0 ) - 2 e x 0 s e n ( x 0 ) 2 ( x - x 0 ) 2

= e 0 c o s ( 0 ) + ( e 0 c o s ( 0 ) - e 0 s e n ( 0 ) ) ( x - 0 ) - e 0 s e n ( 0 ) ( x - 0 ) 2 = 1 + x

Na letra (a), temos que:

P 2 ( 0,5 ) = 1 + 0,5 = 1,5 e f ( 0,5 ) = e 0,5 c o s ( 0,5 ) ≃ 1,44689

Para encontrar um limite superior ao erro, devemos calcular R 2 ( x ) , para x = 0,5 :

R 2 ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x - x 0 ) n + 1 ⇒ R 2 ( 0,5 ) = f 3 ( ξ ) 3 ! ( 0,5 - 0 ) 3 = - 2 e ξ ( s e n ( ξ )   -   c o s ( ξ ) ) 6 ( 0,5 ) 3

= - e ξ ( s e n ( ξ )   -   c o s ( ξ ) ) 3 ( 0,125 )

Para um valor de ξ entre 0 e x = 0,5 , cujo erro é máximo, podemos afirmar que | f ( 0,5 ) - P 2 ( 0,5 ) | ≤ 0,04167 .

Já o erro real é dado por:

E r r o   =   f ( 0,5 ) - P 2 ( 0,5 ) ≃ 1,44689 - 1,5 ≃ - 0,05311

Na letra (b), devemos… ?

Passo 2

Na letra (c), basta resolvermos a integral:

∫ 0 1 f ( x )   d ( x ) ≃ ∫ 0 1 P 2 ( x )   d ( x ) = ∫ 0 1 x + 1   d ( x ) = l i m x → 1 ( x 2 2 + x   ) - l i m x → 0 ( x 2 2 + x   ) = 1,5

Na letra (d), para um valor de ξ entre 0 e x = 0,5 , cujo erro é máximo, temos o seguinte limite superior:

| ∫ 0 1 f ( x )   d ( x ) - ∫ 0 1 P 2 ( x )   d ( x ) | ≤ ∫ 0 1 | R 2 ( x ) |   d ( x ) ≃ 0,08333

Para encontrar o erro real, devemos calcular o valor real da integral de f ( x ) no intervalo [ 0,1 ] :

∫ 0 1 f ( x )   d ( x ) = ∫ 0 1 e x c o s ( x )   d ( x ) ≃ 1,37802

Assim, obtemos:

E r r o   =   ∫ 0 1 f ( x )   d ( x ) - ∫ 0 1 P 2 ( x )   d ( x ) ≃ 1,37802 - 1,5 ≃ - 0,12198

Resposta

a. f ( 0,5 ) ≃ P 2 ( 0,5 ) = 1,5 , limitante de 0,04167 e erro real de - 0,05311

c. ∫ 0 1 f ( x )   d ( x ) ≃ ∫ 0 1 P 2 ( x )   d ( x ) = 1,5

d. Limitante de 0,08333 e erro real de - 0,12198