Encontre o segundo polinômio de Taylor para a função sobre .
a. Use para aproximar . Encontre um limite superior para erro usando a fórmula de erro e compare-a com o erro real.
b. Encontre um limite para o erro ao usar para aproximar no intervalo .
c. Aproxime usando .
d. Encontre um limite superior para o erro em (c) usando , e compare o limite com o erro real.
Passo 1
Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?
Inicialmente, lembrem-se que a função pode ser reescrita da seguinte forma:
Sendo o polinômio de Taylor de grau e o erro.
O polinômio de Taylor para e é dado por:
Na letra (a), temos que:
e
Para encontrar um limite superior ao erro, devemos calcular , para :
Para um valor de entre 0 e , cujo erro é máximo, podemos afirmar que .
Já o erro real é dado por:
Na letra (b), devemos… ?
Passo 2
Na letra (c), basta resolvermos a integral:
Na letra (d), para um valor de entre 0 e , cujo erro é máximo, temos o seguinte limite superior:
Para encontrar o erro real, devemos calcular o valor real da integral de no intervalo :
Assim, obtemos:
Resposta
a. , limitante de e erro real de
c.
d. Limitante de e erro real de