Encontre o terceiro polinômio de Taylor P 3 ( s )   para a função f ( x ) = x + 1 sobre x 0 = 0 . Aproxime 0,5 ,   0,75 ,   1,25   e 1,5 usando P 3 ( x ) e encontre os erros reais.

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

O polinômio de Taylor para n = 3 e x 0 = 0 é dado por:

P 3 ( x ) = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) + f ' ' ( x 0 ) 2 ( x - x 0 ) 2 + f ' ' ' ( x 0 ) 6 ( x - x 0 ) 3

= f ( x 0 ) + 1 2 x 0 + 1 ( x - x 0 ) - 1 8 ( x 0 + 1 ) 3 / 2 ( x - x 0 ) 2 + 3 48 ( x 0 + 1 ) 5 / 2 ( x - x 0 ) 3

= f ( 0 ) + 1 2 0 + 1 ( x - 0 ) - 1 8 ( 0 + 1 ) 3 / 2 ( x - 0 ) 2 + 3 48 ( 0 + 1 ) 5 / 2 ( x - 0 ) 3 = 1 + 1 2 x - 1 8 x 2 + 1 16 x 3

Passo 2

Em seguida, vamos calcular P 3 ( - 0,5 ) , P 3 ( - 0,25 ) , P 3 ( 0,25 ) e P 3 ( 0,5 ) para aproximar 0,5 ,   0,75 ,   1,25   e 1,5 , respectivamente. Chegamos nesses valores de x com base na lei de formação de f ( x ) .

Teremos que:

f ( - 0,5 ) = 0,5   ≃ P 3 ( - 0,5 ) = 1 + 1 2 ( - 0,5 ) - 1 8 ( - 0,5 ) 2 + 1 16 ( - 0,5 ) 3 ≃ 0,71094

f ( - 0,25 ) = 0,75   ≃ P 3 ( - 0,25 ) = 1 + 1 2 ( - 0,25 ) - 1 8 ( - 0,25 ) 2 + 1 16 ( - 0,25 ) 3 ≃ 0,86621

f ( 0,25 ) = 1,25   ≃ P 3 ( 0,25 ) = 1 + 1 2 ( 0,25 ) - 1 8 ( 0,25 ) 2 + 1 16 ( 0,25 ) 3 ≃ 1,11816

f ( 0,5 ) = 1,5   ≃ P 3 ( 0,5 ) = 1 + 1 2 ( 0,5 ) - 1 8 ( 0,5 ) 2 + 1 16 ( 0,5 ) 3 ≃ 1,22656

Passo 3

Por fim, vamos calcular os erros reais:

E r r o 1   =   f ( - 0,5 ) - P 3 ( - 0,5 ) = 0,5 - 0,71094 ≃ - 0,00383

E r r o 2   =   f ( - 0,25 ) - P 3 ( - 0,25 ) = 0,75 - 0,86621 ≃ - 0,00019

E r r o 3   =   f ( 0,25 ) - P 3 ( 0,25 ) = 1,25 - 1,11816 ≃ - 0,00013

E r r o 4   =   f ( 0,5 ) - P 3 ( 0,5 ) = 1,5 - 1,22656 ≃ - 0,00182

Resposta

0,5 ≃ 0,71094 , com erro real de - 0,00383

0,75 ≃ 0,86621 , com erro real de - 0,00019

1,25 ≃ 1,11816 , com erro real de - 0,00013

1,5 ≃ 1,22656 , com erro real de - 0,00182