O Exemplo 3 afirma que para todo x temos |sen x|≤ |x|. Use o seguinte para verificar esta afirmação. a. Mostre que para todo x ≥ 0, f (x) 5 x − sen x é não decrescente, o que implica que sen x ≤ x com a igualdade ocorrendo apenas quando x 5 0.b. Use o fato de que a função seno é ímpar para obter a conclusão.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) Tendo f ( x ) = x - s i n ⁡ x

f ' ( x ) = 1 - c o s ⁡ x

Claramente, f ' ( x ) ≥ 0 já que | c o s ⁡ x | ≤ 1 para todos x

Em particular, f ' ( x ) ≥ 0 para todos x ≥ 0 .

Portanto, f ( x ) está aumentando para todos x ≥ 0 .

Observação: Se f ( x ) está aumentando a função, então para a ≥ b , temos f ( a ) ≥ f ( b )

Passo 2

Desde então, f ( x ) está aumentando a função.

Nós temos para x ≥ 0

f ( x ) ≥ f ( 0 ) e f ( 0 ) = 0

portanto, f ( x ) ≥ 0

x - s i n ⁡ x   ≥ 0 x   ≥ s i n ⁡ x

Assim, para x ≥ 0 , x ≥ s i n ⁡ x

  ⇒ | x | ≥ | s i n ⁡ x |   ⇒ | s i n ⁡ x | ≤ | x |

Passo 3

b) Para x < 0 nós temos - x > 0

de parte ( a ) que temos, f ( - x ) > f ( 0 ) e f ( 0 ) = 0

portanto, ( - x ) - s i n ⁡ ( - x ) > 0

  ⇒ ( - x ) > s i n ⁡ ( - x )   ⇒ | - x | > | s i n ⁡ ( - x ) |   ⇒ | s i n ⁡ x | < | x |

Assim, | s i n ⁡ x | < | x | vale para todos os valores reais de x .

Resposta

Resposta nos passos.