O Exemplo 3 afirma que para todo x temos |sen x|≤ |x|. Use o seguinte para verificar esta afirmação. a. Mostre que para todo x ≥ 0, f (x) 5 x − sen x é não decrescente, o que implica que sen x ≤ x com a igualdade ocorrendo apenas quando x 5 0.b. Use o fato de que a função seno é ímpar para obter a conclusão.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
a) Tendo
Claramente, já que para todos
Em particular, para todos.
Portanto, está aumentando para todos.
Observação: Se está aumentando a função, então para , temos
Passo 2
Desde então, está aumentando a função.
Nós temos para
e
portanto,
Assim, para
Passo 3
b) Para nós temos
de parte que temos, e
portanto,
Assim, vale para todos os valores reais de .
Resposta
Resposta nos passos.