No exercício anterior escreva x = x r + i x i   ; y = y r + i y i . Multiplique as partes real e imaginária de cada equação separadamente. Mostre que o resultado é um sistema de 4 equações e 4 incógnitas, cuja solução são as partes real e imaginária do exercício anterior.

Passo 1

Faaaala, pessoal! Tudo tranquilo? Questãozinha show de bola pra gente. Pra início de conversa, vamos fazer o que é pedido no enunciado. Vamos escrever x e y com aqueles termos especificados:

Com isso, a primeira equação ficará:

2 + 3 i x r + x i + 2 - i y r + y i = 2 + i

A segunda equação ficará:

4 + 6 i x r + x i + 3 - 6 i y r + y i = - 2 - 5 i

Passo 2

Pronto, agora vamos abrir os produtos das equações e com isso, ficaremos com:

A primeira equação:

2 x r + 2 i x i + 3 i x r - 3 x i + 2 y r + 2 i y i - i y r + y i = 2 + i

A segunda equação:

4 x r + 4 i x i + 6 i x r - 6 x i + 3 y r + 3 i y i - 6 i y r + 6 y i =   - 2 - 5 i

Passo 3

Agora, separando as duas equações entre parte real e imaginária, ficaremos com as seguintes quatro equações:

A primeira em relação a parte real da primeira equação do sistema anterior:

2 x r - 3 x i + 2 y r + y i = 2

A segunda em relação a parte imaginária da primeira equação do sistema anterior:

2 i x i + 3 i x r + 2 i y i - i y r = i

A terceira em relação a parte real da segunda equação do sistema anterior:

4 x r - 6 x i + 3 y r + 6 y i =   - 2

A quarta em relação a parte imaginária da segunda equação do sistema anterior:

4 i x i + 6 i x r + 3 i y i - 6 i y r = - 5 i

Passo 4

O problema nos pede para mostrar que a solução desse sistema é são as partes real e imaginária do exercício anterior que são (relembrando):

x = 1 + i

E

y = 2 - i

Então fazendo:

x r = 1       e       x i = 1

E:

y r = 2       e     y i =   - 1

E por fim substituindo nas 4 equações obtidas anteriormente, teremos:

2 ( 1 ) - 3 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + ( - 1 ) = 2

2 i ( 1 ) + 3 i ( 1 ) + 2 i ( 2 ) - i ( 2 ) = i

4 ( 1 ) - 6 ( 1 ) + 3 ( 2 ) + 6 ( - 1 ) =   - 2

4 i ( 1 ) + 6 i ( 1 ) + 3 i ( - 1 ) - 6 i ( 2 ) = - 5 i

E resolvendo vermos que as equações são satisfeitas, portanto, as partes reais e imaginárias do exercício anterior são solução do sistema. E aqui finalizamos a questão galera. Até a próxima 😊.

Resposta

A s   p a r t e s   r e a l   e   i m a g i n á r i a   d o   e x e r c í c i o   a n t e r i o r   s ã o   s o l u ç ã o !