O jogador A excluirá (ganhar por 21-0) o jogador B em um jogo de squash com probabilidade

p   = 1 + p 2 p 1 - p + p 2 21

onde p denota a probabilidade de A ganhar qualquer rally específico (independente do sacador). (Ver

[Keller, J], pág. 267.) Determine, com uma precisão de 10−3, o valor mínimo de p que garantirá que A feche

fora B em pelo menos metade das partidas que jogam.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Jogador A vai jogar, jogador B em um jogo de raquetebol com probabilidade

p   = 1 + p 2 p 1 - p + p 2 21 p - 1 + p 2 p 1 - p + p 2 21   = 0

Onde, p denota a probabilidade de o jogador A ganhar qualquer rally específico.

A solução da equação acima pode ser calculada usando o método de Newton pela fórmula

p n + 1 = p n - f p n f ' p n

p n + 1 = p n - p - 1 + p 2 p 1 - p + p 2 21 1 - 1 2 p 1 - p + p 2 21 - 21 ( 1 + p ) 2 p 1 - p + p 2 20 1 - p + p 2 × 1 - p ( - 1 + 2 p ) 1 - p + p 2 2

p n + 1 = p n - p - 1 + p 2 p 1 - p + p 2 21 1 - 1 2 p 1 - p + p 2 21 - 21 ( 1 + p ) 2 p 1 - p + p 2 20 1 - p 2 1 - p + p 2 2

Passo 2

Probabilidade p está entre intervalo [ 0,1 ] , considere a primeira aproximação p 0 = 0.75

p n + 1 = p n - p - 1 + p 2 p 1 - p + p 2 21 1 - 1 2 p 1 - p + p 2 21 - 21 ( 1 + p ) 2 p 1 - p + p 2 20 1 - p 2 1 - p + p 2 2

p 1 = 0.75 - 0.5870 - 1.5496 p 1 = 0.75 + 0.3788 p 1 = 1.1288

Agora, para 2 nd  aproximação,

p 2 = 1.1288 - 0.3452 2.1213 p 2 = 1.1288 - . 1627 p 2 = 0.966

E para 3 rd  aproximação,

p 3 = 0.966 - . 0632 2.2539 p 3 = 0.966 - . 0880 p 3 = 0.878

Para 4 th  aproximação,

p 4 = 0.878 - . 01449 0.4088 p 4 = 0.878 - . 0357 p 4 = 0.8523

Significa que apenas 4 iterações são necessárias para calcular o valor do p que é 0.8523 correto para dentro 10 - 3 .

Resposta

0.8523