Uma maneira de se obter a solução da equação de Laplace:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ,

em uma região retangular consiste em se fazer uma discretização que transforma a equação em um problema aproximado consistindo em uma equação de diferenças cuja solução, em um caso particular, exige a solução do seguinte sistema linear:

4 - 1 0 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 - 1 0 0 - 1 4 0 0 - 1 - 1 0 0 4 - 1 0 0 - 1 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 0 - 1 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 100 0 0 100 0 0

Se desejamos a solução com quatro algarismos significativos corretos, qual dos métodos iterativos que você conhece poderia ser aplicado com garantia de convergência? Resolva o sistema pelo método escolhido.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Uma maneira de se obter a solução da equação de Laplace:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ,

em uma região retangular consiste em se fazer uma discretização que transforma a equação em um problema aproximado consistindo em uma equação de diferenças cuja solução, em um caso particular, exige a solução do seguinte sistema linear:

4 - 1 0 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 - 1 0 0 - 1 4 0 0 - 1 - 1 0 0 4 - 1 0 0 - 1 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 0 - 1 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 100 0 0 100 0 0

Se desejamos a solução com quatro algarismos significativos corretos, qual dos métodos iterativos que você conhece poderia ser aplicado com garantia de convergência? Resolva o sistema pelo método escolhido.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão ele pede para desenvolver o sistema pelo método iterativo,

4 - 1 0 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 - 1 0 0 - 1 4 0 0 - 1 - 1 0 0 4 - 1 0 0 - 1 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 0 - 1 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 100 0 0 100 0 0

Temos,

x 1 = 4 + - 1 2 + 0 2 + - 1 2 + 0 2 + 0 2 = 6

x 2 = - 1 + 4 2 + - 1 2 + 0 2 + - 1 2 + 0 2 = 17

x 3 = 0 + - 1 2 + 4 2 + 0 2 + 0 2 + - 1 2 = 18

x 4 = - 1 + 0 2 + 0 2 + 4 2 + - 1 2 + 0 2 = 16

x 5 = 0 + - 1 2 + 0 + - 1 2 + 4 2 + - 1 2 = 19

x 6 = 0 + 0 2 + - 1 2 + 0 2 + - 1 2 + 4 2 = 18

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x 1 = 6 , x 2 = 17 , x 3 = 18 , x 4 = 16 , x 5 = 19 e x 6 = 18