Para as matrizes do Exercício 1 que possuem 3 autovetores linearmente independentes, formem a fatoração A = P D P - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Dada a seguinte matriz

A = 2 - 2 6 0 3 - 4 0 2 - 3

Como os autovalores λ 1 = 1 ,   λ 2 = - 1   e   λ 3 = 2 . Os autovetores correspondentes são v 1 = 0,2 , 1 t ,   v 2 = - 1,1 , 1 t   e   v 3 = 1,0 , 0 t . Portanto, nós temos que

P = 0 - 1 1 2 1 0 1 1 0 ,     D = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 2

E com isso, nós calculamos P - 1

P - 1 = 0 1 - 1 0 - 1 2 1 - 1 2

Isto nos fornece

A = 2 - 2 6 0 3 - 4 0 2 - 3 1 0 0 0 - 1 0 0 0 2 0 1 - 1 0 - 1 2 1 - 1 2

Questão respondida!! 😊

Passo 2

B – A matriz aqui nesse caso é a seguinte

A = 2 0 1 0 2 0 1 0 2

Que tem como autovalores λ 1 = 1 ,   λ 2 = 2   e   λ 3 = 3 . E seus autovetores são respectivamente

v 1 = 1,0 , - 1 t ,   v 2 = 0,1 , 0 t   e   v 3 = 1,0 , 1 t

Portanto, nós temos que

P = 1 0 1 0 1 0 - 1 0 1 ,     D = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

E nós calculamos P - 1 , que é igual a

P - 1 = 1 2 0 - 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

Isto nos fornece

A = 1 0 1 0 1 0 - 1 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 3 1 2 0 - 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

Passo 3

C – Dada a matriz

A = 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Os autovalores λ 1 = 1 ,   λ 2 = 1 + 2   e   λ 3 = 1 - 2 . Os autovetores correspondentes são

v 1 = 0,1 , - 1 t ,   v 2 = 2 , 1,1 t   e   v 3 = - 2 , 1,1 t

Portanto, nós temos que

P = 0 2 - 2 1 1 1 - 1 1 1 ,     D = 1 0 0 0 1 + 2 0 0 0 1 - 2  

E respectivamente, P - 1

P - 1 = 0 1 2 - 1 2 1 4 2 1 4 1 4 - 1 4 2 1 4 1 4

Com isso

A =   0 2 - 2 1 1 1 - 1 1 1 1 0 0 0 1 + 2 0 0 0 1 - 2   0 1 2 - 1 2 1 4 2 1 4 1 4 - 1 4 2 1 4 1 4  

D – Existem apenas dois autovetores LI, portanto, nós não podemos calcular a matriz P.

Resposta

a )   0 - 1 1 2 1 0 1 1 0

b )   1 0 1 0 1 0 - 1 0 1

c )   0 2 - 2 1 1 1 - 1 1 1

d )   E x i s t e m   a p e n a s   d o i s   a u t o v e t o r e s   L I ,   p o r t a n t o ,   n ó s   n ã o   p o d e m o s   c a l c u l a r   a   m a t r i z   P .