O método de Steffensen é aplicado a uma função g ( x ) usando p 0 ( 0 )   =   1   e   p 2 0   =   3 para obter p 0 1   =   0,75 . O que é p 1 0 ?

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

A teoria relevante necessária para resolver o problema dado é fornecida abaixo.

Para acelerar a taxa de convergência de uma sequência linearmente convergente, independentemente de sua origem ou aplicação, é aplicada uma técnica especial chamada método de Aitken.

Passo 2

Método de Aitken: Se é uma sequência linearmente convergente com ∆ 2 p n n = 0 ∞

lim n → ∞ ⁡ p n = p

p ^ n n = 0 ∞ é uma nova sequencia que converge mais rapidamente para p do que a sequencia p n n = 0 ∞ , então

p n + 1 - p p n - p ≈ p n + 2 - p p n + 1 - p

Para um valor suficientemente grande d n .

Resolvendo a equação aproximada para p como mostrada abaixo

p n + 1 - p p n - p ≈ p n + 2 - p p n + 1 - p

p n + 1 - p 2 ≈ ( p n + 2 - p ) ( p n - p )

p n + 1 2 + 2 p n + 1 ⋅ p + p 2 ≈ p n + 2 ⋅ p n - p n + 2 ⋅ p - p ⋅ p n + p 2

p n + 1 2 - 2 n + 1 ⋅ ≈ p n + 2 ⋅ p n - p n + 2 ⋅ p - p ⋅ p n

p n + 1 2 ≈ p n + 2 ⋅   p n - p n + 2 ⋅ p - p ⋅ p n + 2 p n + 1 ⋅ p

p n + 1 2 - p n + 2 ⋅   p n ≈ - p n + 2 ⋅ p - p ⋅ p n + 2 p n + 1 ⋅ p

p n + 2 ⋅   p n - p n + 1 2 ≈ p n + 2 ⋅ p - p ⋅ p n + 2 p n + 1 ⋅ p

( p n + 2 ⋅   p n - p n + 1 2 ) ≈ 2 p n + 2 + p n - 2 p n + 1

Passo 3

Continuando

p ≈ p n + 2 ⋅ p n - p n + 1 2 p n + 2 + p n - 2 p n + 1

≈ p n + 2 ⋅ p n - p n + 1 2 + p n 2 - p n 2 + 2 p n ⋅ p n + 1 - 2 p n ⋅ p n + 1 p n + 2 + p n - 2 p n + 1

≈ p n + 2 ⋅ p n - p n 2 + 2 p n ⋅ p n + 1 + ( p n 2 - 2 p n ⋅ p n + 1 - p n + 1 2 ) ( p n + 2 + p n - 2 p n + 1 )

p ≈ p n + 2 - p n + 2 ⋅ p n + 1 p n + p n - p n + 1 2 p n + 2 + p n - 2 p n + 1

≈ p n + 2 - p n + 2 ⋅ p n + 1 p n + p n + 1 - p n 2 p n + 2 + p n - 2 p n + 1

≈ p n - p n + 1 - p n 2 p n + 2 + 2 p n + 1 + p n

O método de Aitken é baseado na suposição de que a sequencia p ^ n n = 0 ∞ definida por

p ^ ≈ p n - p n + 1 - p n 2 p n + 2 + 2 p n + 1 + p n

Converge mais rapidamente para sequencia p do que o original p n n = 0 ∞

Usando a notação de diferença direta

p ^ ≈ p n - ∆ p n 2 ∆ 2 p n   p a r a   n ≥ 0

Onde

∆ p n = p n + 1 - p n

∆ 2 p n = ∆ ∆ p n

= ∆   ( p n + 1 - p n )

Passo 4

Método de Steffensen: É uma modificação do método de Aitken para um método linearmente convergente, a sequencia obtida da iteração de ponto fixo. Uma sequencia linearmente convergente pode ser acelerado para convergência quadrática por esta técnica. O método de Aitken , e mostrado abaixo, sua construção de termos.

Cada terceiro termo da sequência de Steffensen é gerado

p ^ ≈ p n - ∆ p n 2 ∆ 2 p n   p a r a   n ≥ 0

E os outros termos usa, iteração de ponto fixo no termo anterior. Se ∆ 2 p n = 0 então a sequencia é encerrada e p 2 n - 1 é selecionada como a melhor aproximação .

Dado que o método de Steffensen é aplicado a uma função g ( x ) usando p 0 0 = 1 e p 2 0 = 3 , p 0 1 = 0.75

Determine o valor de p 1 0   c o m o   m o s t r a   a b a i x o

p 0 0 = 1       ( p a r t i n d o   d o s   d a d o s )

p 1 0 = g p 0 0                 ( p o r   i t e r a ç ã o   d e   p o n t o   f i x o )

= g 1               ( d e s d e ,   p 0 0 = 1 )

p 2 0 = 0             ( p a r t i n d o   d o s   d a d o s )

Passo 5

Continuando

p 0 1 = p 0 0 - p 1 0 - p 0 0 2 p 2 0 - 2 p 1 0 + p 0 0                     ( m é t o d o   a i t k e n )

0.75 = 1 - g 1 - 1 2 3 - 2 g 1 + 1

0.75 = 1 - ( g 1 - 1 ) ^ 2 ) 4 - 2 g 1  

- 0.25 = - g 1 - 1 2 4 - 2 g 1  

0.25 = g 1 - 1 2 4 - 2 g 1

1 - 0.5 g 1 = g 1 - 1 2

1 - 0.5 g 1 = g 1 2 - 2 g 1 + 1

- 0.5 g 1 = g 1 2 - 2 g 1

1.5 g 1 = g 1 2

Passo 6

g 1 2 - 1.5 g 1 = 0

g 1 g 1 - 1.5 = 0

g 1 = 0 ,   1.5

p 1 0 = 0 ,   1.5

Resposta

Portanto, p 1 0 = 1.5   o u   p 1 0 = 0