Mostre que as equações a seguir têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.

a. x c o s ( x ) - 2 x 2 + 3 x - 1 = 0 ,   [ 0,2 ; 0,3 ] e [ 1,2 ; 1,3 ]

b. ( x   −   2 ) 2   −   l n   ( x )   =   0 ,   [ 1 ,   2 ]   e [ e ,   4 ]

c. 2 x   c o s ( 2 x )   −   ( x   −   2 ) 2   =   0 ,   [ 2 ,   3 ] e [ 3 ,   4 ]

d. x   −   ( l n   x ) x =   0 ,   [ 4 ,   5 ]

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário! Para quem não lembra, o TVI afirma que existe um valor c no intervalo [ a , b ] tal que f ( c ) = 0 se f ( a ) e f ( b ) possuírem sinais opostos.

Ainda tá confuso? Isso significa que se f ( a ) e f ( b ) possuírem sinais diferentes, então a equação f ( x ) = 0 possui pelo menos uma solução no intervalo [ a , b ] !

Passo 2

Na letra (a), temos f ( x ) = x c o s ( x ) - 2 x 2 + 3 x - 1 e dois intervalos foram dados. Começando pelo primeiro, temos a = 0,2 e b = 0 , 3 . Logo:

f ( a ) = f ( 0,2 ) = 0,2 c o s ( 0,2 ) - 2 ⋅ 0 , 2 2 + 3 ⋅ 0,2 - 1 = - 0.28398

f ( b ) = f ( 0,3 ) = 0,3 c o s ( 0,3 ) - 2 ⋅ 0 , 3 2 + 3 ⋅ 0,3 - 1 = 0,00660

No segundo, temos a = 1,2 e b = 1 , 3 . Logo:

f ( a ) = f ( 1,2 ) = 1,2 c o s ( 1,2 ) - 2 ⋅ 1 , 2 2 + 3 ⋅ 1,2 - 1 = 0.15482

f ( b ) = f ( 1,3 ) = 1,3 c o s ( 1,3 ) - 2 ⋅ 1 , 3 2 + 3 ⋅ 1,3 - 1 = - 0.13225

Logo, mostramos que existe uma raiz de f ( x ) nos dois intervalos propostos!

Passo 3

Beleza, agora temos que repetir essa mesma ideia para as demais letras do exercício.

Na letra (b), temos f ( x ) = ( x   −   2 ) 2   −   l n   ( x )   e dois intervalos,   [ 1 ,   2 ] e [ e ,   4 ] . Como f ( 1 ) = 1 , f ( 2 ) = - 0,69315 ,   f ( e ) = - 0,48407 e f ( 4 ) = 2,61371 , podemos afirmar que a equação deste item têm pelo menos uma solução nos dois intervalos dados.

Na letra (c), temos f ( x ) = 2 x   c o s ( 2 x )   −   ( x   −   2 ) 2   e dois intervalos,   [ 2 ,   3 ] e   [   3,4 ] . Como f ( 2 ) = - 2,61457 , f ( 3 ) = 4,76102 e f ( 4 ) = - 5,16400 , podemos afirmar que a equação deste item tem pelo menos uma solução nos dois intervalos dados.

Na letra (d), temos f ( x ) = x   −   ( l n   x ) x   e o intervalo   [   4,5 ] . Como f ( 4 ) = 0,30664 e f ( 5 ) = - 5,79869 , podemos afirmar que a equação deste item tem pelo menos uma solução no intervalo dado.

Resposta

No desenvolvimento.