Mostre que f'(x) é 0 pelo menos uma vez nos intervalos dados.

a. f   ( x )   =   1   −   e x +   ( e   −   1 ) s i n ( ( π / 2 ) x ) ,   [ 0 ,   1 ]

b. f   ( x )   =   ( x   −   1 ) t a n   x   +   x   s i n   π x ,   [ 0 ,   1 ]

c. f   ( x )   =   x   s i n   π x   −   ( x   −   2 ) l n   x ,   [ 1 ,   2 ]

d. f   ( x )   =   ( x   −   2 ) s i n   x   l n ( x   +   2 ) ,   [ − 1 ,   3 ]

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Vamos usar o Teorema de Rolle! Para quem não lembra, esse teorema afirma que existe um valor c no intervalo [ a , b ] tal que f ' ( c ) = 0 se a função f satisfaz as seguintes condições:

1 .   f é contínua no intervalo [ a , b ]

2 .   f é derivável no intervalo ( a , b )

3 .   f ( a ) = f ( b )

Passo 2

Vamos então verificar se as três condições são satisfeitas para as funções dadas, começando pela letra (a).

Na figura abaixo, vemos o gráfico de f ( x ) . Em uma análise visual, é possível verificar que a função é contínua no intervalo dado. De fato, sua lei de formação está definida para todos os pontos do intervalo e não apresenta nenhum salto.

Calculando a derivada de f ( x ) , obtemos f ' ( x ) = π ( e - 1 ) 2 c o s ( π x 2 ) - e x .

Na figura abaixo, vemos o gráfico de f ' ( x ) . Em uma análise visual, é possível verificar que a função também é derivável no intervalo dado. De fato, sua lei de formação está definida para todos os pontos do intervalos e não apresenta nenhum salto.

Por fim, temos que f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , isto é, a terceira condição é satisfeita.

Logo, podemos afirmar que f ( x ) é 0 pelo menos uma vez no intervalo [ 0,1 ] .

Passo 3

Na letra (b), temos f ' ( x ) = t a n ( x ) + s e c 2 ( x ) ( x - 1 ) + s i n ( π x ) + π x c o s ( π x ) e f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 . Logo, podemos afirmar que f ( x ) = 0 pelo menos uma vez no intervalo [ 0,1 ] .

Na letra (c), temos f ' ( x ) = s i n ( π x ) + π x ⋅ c o s ( π x ) - l n ( x ) - x - 2 x e f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0 . Logo, no intervalo [ 1,2 ] , podemos afirmar que f ( x ) = 0 pelo menos uma vez.

Na letra (d), temos f ' ( x ) = e f ( - 1 ) = 0 e f ( 3 ) = - 0,92445 . Como são valores distintos, precisamos achar um subintervalo que satisfaz o teorema. Note que f ( - 1 ) = f ( 0 ) = 0 . Logo, no intervalo [ - 1,0 ] , podemos afirmar que f ( x ) é nula pelo menos uma vez.

Observe que, para todos os casos, a lei de formação da função f ( x )   e de sua derivada estão bem definidas para todos os pontos do intervalo de interesse, sem apresentar saltos, e por isso consideramos que as condições 1 e 2 foram satisfeitas.

Resposta

No desenvolvimento.