Mostre que a fórmula Q ( P )   = ∑ i = 1 n   c i P ( x i ) não pode ter grau de precisão maior que 2 n   -   1 , independentemente da escolha de c 1 ,   . . .   ,   c n   e   x 1 ,   . . .   ,   x n . [Dica: Construa um polinômio que tenha um duplo raiz em cada um dos x i ' s .]

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

O objetivo é mostrar que a fórmula Q ( P )   = ∑ i = 1 n   c i P ( x i ) não pode ter grau de precisão maior que 2 n - 1 .

Suponha que Q ( P )   = ∑ i = 1 n   c i P ( x i ) te, grau de precisão maior que 2 n - 1

Por exemplo, deixe P x = x - x 1 2 … x - x n 2 , aqui, x 1 ,   i = 1 , 2,3 , … ,   n são os mesmo que em Q ( P ) .

Q P = ∫ - 1 1 P x d x

= ∫ - 1 1 x - x 1 2 … . x - x n 2 d x

Onde, Q P > 0 ,   c o m o   t o s o   x i ,   i = 1 , 2,3 , … , n são pontos distintos (-1,1), existe um ponto x ¯   ∈ x i ,   x i - 1 ⊂ ( - 1,1 ) que P ( x ¯ ) ≠ 0 , assim P x ¯ > 0 .

Pela continuidade de P x e m   - 1,1 ,   existe um intervalo [ x ¯ - ε ,   x ¯ + ε     ] ⊂ ( x i ,   x i - 1 ) tal que P x > 0 para todo x ∈   [ x ¯ - ε ,   x ¯ + ε     ]

Passo 2

Novamente por continuidade P ( x ) atinge seu mínimo em [ x ¯ - ε ,   x ¯ + ε     ] assim P x > k > 0 por x ∈   [ x ¯ - ε ,   x ¯ + ε     ]

Portanto,

∫ - 1 1 P x d x ≥ ∫ x ¯ + ∈ x ¯ - ∈ k d x

= 2 ε k

> 0

Também

∑ i = 1 n c i   P x i = ∑ i = 1 n c i 0

= 0

Logo, Q P = ∑ i = 1 n c i   P x i não pode ser verdade

Está é uma contradição Q P ter grau de precisão maior do que 2 n - 1 .

Resposta

Portanto, Q ( P ) não pode ter grau de precisão maior que 2 n - 1 .