Mostre que a matriz dada no Exemplo 3 da Seção 9.1,

A = 2 0 0 1 1 2 1 - 1 4

é semelhante às matrizes diagonais

D 1 = 3 0 0 0 2 0 0 0 2 ,    

D 2 = 2 0 0 0 3 0 0 0 2 ,  

      D 3 = 2 0 0 0 2 0 0 0 3  

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para mostrarmos que a matriz,

A = 2 0 0 1 1 2 1 - 1 4

é semelhante às matrizes diagonais

D 1 = 3 0 0 0 2 0 0 0 2 ,    

D 2 = 2 0 0 0 3 0 0 0 2 ,  

      D 3 = 2 0 0 0 2 0 0 0 3  

Vem comigo meus abençoados.

Passo 2

Primeiro precisamos achar o autovalor da matriz A que fica,

A = 2 0 0 1 1 2 1 - 1 4 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

2 - λ 0 0 1 1 - λ 2 1 - 1 4 - λ

  - λ 3 + 5 λ 2 - 10 λ + 8  

Com isso o multiplicado 1 fica em λ 1 = 3 com autovetor S 1 , que fica no final

S 1 = 0,1 , 1 t

Já para o autovalor do multiplicado 2 com λ 2 = 2 com autovetores linearmente independente fica,

S 2 = 1,1 , 0 t             S 3 = - 2,0 , 1 t

Seja,

S 1 = { S 1 , S 2 , S 3 }

S 2 = { S 2 , S 1 , S 3 }

S 3 = { S 2 , S 3 , S 1 } , temos

A = S - 1

1 D 1 S 1 = S - 1

2 D 2 S 2 = S - 1

3 D 3 S 3 = S - 1 , sendo A semelhante a D 1 ,   D 2 ,   D 3

Espero ter ajudado e até a próxima.

Resposta

A = S - 1

1 D 1 S 1 = S - 1

2 D 2 S 2 = S - 1

3 D 3 S 3 = S - 1 , sendo A semelhante a D 1 ,   D 2 ,   D 3