Mostre que se A é semelhante a B, então

a) det ⁡ A = d e t ⁡ ( B ) ;

b) O polinômio característico de A é o mesmo que o polinômio característico de B;

c) A é não singular se e somente se B é não singular;

d) Se A não é singular, mostre que A - 1 é semelhante a B - 1 ;

e) A t é semelhante a B t

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão sabendo que A é semelhante a B, temos que encontrar,

a) det ⁡ A = d e t ⁡ ( B ) ;

b) O polinômio característico de A é o mesmo que o polinômio característico de B;

c) A é não singular se e somente se B é não singular;

d) Se A não é singular, mostre que A - 1 é semelhante a B - 1 ;

e) A t é semelhante a B t

Vem comigo meus abençoados.

Passo 2

Na letra (a) para provarmos det ⁡ A = d e t ⁡ ( B ) , vamos ter que,

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1        

  B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

det ⁡ A = 0     e   det ⁡ B = 0

Na letra (b) para determinarmos o polinômio característico de A igual ao polinômio característico de B temos,

det ⁡ A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

  - λ 3 + 3 λ 2 - 3 λ + 1

det ⁡ B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

- λ 3 + 3 λ 2 - 3 λ + 1    

- λ 3 + 3 λ 2 - 3 λ + 1 = - λ 3 + 3 λ 2 - 3 λ + 1

Passo 3

Na letra ( c ) para A ser não singular se somente se B também não ser singular, temos que

det ⁡ A ± d e t ⁡ ( B )

Na letra (d) se A não é singular, para mostrarmos que A - 1 = B - 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1

E por fim na letra (e) para dizer que A t é semelhante a B t , temos

A t = Q D Q t t = Q t t D Q t = Q D Q t = A

B t = Q D Q t t = Q t t D Q t = Q D Q t = B

Essa foi bem rapidinha né rsrs. Espero ter ajudado e até a próxima.

Resposta

a) det ⁡ A = 0     e   det ⁡ B = 0

b) - λ 3 + 3 λ 2 - 3 λ + 1 = - λ 3 + 3 λ 2 - 3 λ + 1

det ⁡ A = d e t ⁡ ( B )

c) det ⁡ A ± d e t ⁡ ( B )

d) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1

e) A t = Q D Q t t = Q t t D Q t = Q D Q t = A

B t = Q D Q t t = Q t t D Q t = Q D Q t = B