Enunciado

Um processo iterativo para resolver sistemas de equações do tipo A x   -   b   =   0 é assim definido:

• somar I x a ambos os membros, obtendo ( I   +   A ) x   -   b   =   x ,

• realizar iterações a partir de x ( 0 ) fazendo:

x ( k + 1 ) = I + A x ( k ) - b

a) Dê uma condição suficiente que assegure a convergência deste processo iterativo.

b) Aplique este processo para determinar a solução do seguinte sistema:

- 1,1   x 1 + 0,1   x 2 = 1 0,3   x 1 - 0,3   x 2 = 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Um processo iterativo para resolver sistemas de equações do tipo A x   -   b   =   0 é assim definido:

• somar I x a ambos os membros, obtendo ( I   +   A ) x   -   b   =   x ,

• realizar iterações a partir de x ( 0 ) fazendo:

x ( k + 1 ) = I + A x ( k ) - b

a) Dê uma condição suficiente que assegure a convergência deste processo iterativo.

b) Aplique este processo para determinar a solução do seguinte sistema:

- 1,1   x 1 + 0,1   x 2 = 1 0,3   x 1 - 0,3   x 2 = 0

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha dado as definições do sistema composta por,

A x - b = 0 , com

I + A x - b = x

Com a iteração x ( 0 ) valendo,

x ( k + 1 ) = I + A x ( k ) - b

Temos que na letra (a) para determinar a condição suficiente que assegura a convergência temos que

x = I + A x - b → x = I x 1 + A x 1 - b

Já na letra (b) para determinar a solução do sistema temos que,

- 1,1   x 1 + 0,1   x 2 = 1 0,3   x 1 - 0,3   x 2 = 0 →   x 1 = x 2

Ficando,

x 1 = 0,83     e     x 2 = 0,83

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) x = I x 1 + A x 1 - b

b) x 1 = 0,83     e     x 2 = 0,83