Prove que as seguintes sequências são convergentes e encontre seus limites.
A .
B.
C.
D.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Lembre-se de que todas as normas em são equivalentes, o que significa que, para quaisquer duas normas em , se uma sequência converge em uma norma, ela também converge na outra.
A partir disso, sabemos que é suficiente verificar a convergência em norma. Agora vamos relembrar que a sequência converge para com respeito a norma e se somente se
Com essa introdução, podemos responder as questões do enunciado. Vamos lá!!!
Passo 2
A – Vamos primeiramente calcular os limites de cada um dos componentes do vetor, portanto
Nós sabemos que
Converge e seu limite é
Passo 3
B – Mesmo raciocínio, calcular o limite dos componentes (achou que ia se livrar do cálculo 1? Achou errado!!! Mas relaxe, são limites simples!). Calculando os limites de cada componente, nós obtemos que
A explicação para esse limite é a seguinte: tende a zero quando o limite vai para o infinito, enquanto a função sempre fica variando entre -1 e 1, logo, como é uma multiplicação o resultado é igual a 0.
O próximo limite é igual a
Nesse caso, vamos fazer uma substituição
Então, fazendo algumas manipulações algébricas, nós obtemos o seguinte resultado
Este é um famoso limite, e vai ser usado para a solução do nosso problema 😊. Para o último componente, nós temos que
O termo tende a zero quando o k vai para infinito, portanto, o conjunto converge e seu limite é
Resposta
Resposta nos passos