Prove que as seguintes sequências são convergentes e encontre seus limites.

A . x k = 1 k ,   e 1 - k ,   - 2 k 2 t

B.   x k = e - k cos ⁡ k ,   k sin ⁡ 1 k ,   3 + k - 2 t

C.   x k = k e - k 2 , cos ⁡ k k ,   k 2 + k - k t

D.   x k = e 1 k , k 2 + 1 1 - k 2 ,   1 k 2 1 + 3 + 5 . … + 2 k - 1 t

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Lembre-se de que todas as normas em R n são equivalentes, o que significa que, para quaisquer duas normas em R n , se uma sequência converge em uma norma, ela também converge na outra.

A partir disso, sabemos que é suficiente verificar a convergência em norma. Agora vamos relembrar que a sequência x ( k ) = x 1 k ,   x 2 k , … , x n k converge para x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) com respeito a norma ∙ ∞ e se somente se

lim k → ∞ ⁡ x i ( k ) = x i ,     ∀ i ∈ { 1,2 , … ,   n }

Com essa introdução, podemos responder as questões do enunciado. Vamos lá!!!

Passo 2

A – Vamos primeiramente calcular os limites de cada um dos componentes do vetor, portanto

l i m k → ∞ 1 k = 0

l i m k → ∞ e 1 - k = 0

l i m k → ∞ - 2 k 2 = 0

Nós sabemos que

x ( k ) = 1 k ,   e 1 - k ,   - 2 k 2

Converge e seu limite é ( 0,0 , 0 )

Passo 3

B – Mesmo raciocínio, calcular o limite dos componentes (achou que ia se livrar do cálculo 1? Achou errado!!! Mas relaxe, são limites simples!). Calculando os limites de cada componente, nós obtemos que

l i m k → ∞   e - k cos ⁡ k = 0

A explicação para esse limite é a seguinte: e - k tende a zero quando o limite vai para o infinito, enquanto a função cos ⁡ k sempre fica variando entre -1 e 1, logo, como é uma multiplicação o resultado é igual a 0.

O próximo limite é igual a

l i m k → ∞   k sin ⁡ 1 k

Nesse caso, vamos fazer uma substituição

z = 1 k ,     q u a n d o   k → ∞ ,   z → 0

Então, fazendo algumas manipulações algébricas, nós obtemos o seguinte resultado

l i m k → ∞ sin ⁡ k k = 1  

Este é um famoso limite, e vai ser usado para a solução do nosso problema 😊. Para o último componente, nós temos que

l i m k → ∞   3 + k - 2 = 3

O termo 1 k 2 tende a zero quando o k vai para infinito, portanto, o conjunto converge e seu limite é

( 0,1 , 3 )

Resposta

Resposta nos passos