A regra trapezoidal aplicada ∫ 0 2 f x   d x dá o valor 4, e a regra de Simpson dá o valor 2. O que é f(1)?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar f como uma função contínua em [ a , b ] , onde a , b ∈ R , a regra do trapézio é igual a

I T = b - a 2 f a + f b

E a regra de Simpson é igual a

I S = b - a 6 f a + 4 f a + b 2 + f b

Passo 2

Colocando a = 0 e b = 2 , nós temos que

∫ a b f x   d x ≈ I T = 4

Então, a regra do trapézio nos dá o seguinte resultado

I T = 2 - 0 2 f 0 + f 2 = f 0 + f ( 2 )

Desde que I T = 4 , nós temos que a primeira equação é igual

f 0 + f 2 = 4

Passo 3

Por outro lado, o valor aproximado da integral pela regra de Simpson é igual a

∫ 0 2 f x   d x ≈ I S = 2

Desde que a regra de Simpson nos dá

I S = 2 - 0 6 f 0 + 4 f 1 + f 2 = 1 3 f 0 + 4 f 1 + f 2

Desde que I S = 2 , nós obtemos que a segunda equação é igual a

2 = 1 3 f 0 + 4 f 1 + f 2

Passo 4

Juntando a equação 1 com a 2, nós temos que

2 = 1 3 f 0 + 4 f 1 + f 2  

Desenvolvendo o termo, nós obtemos o seguinte resultado

2 = 1 3 4 + 4 f 1 = 4 3 1 + f 1

O que significa

f 1 + 1 = 3 2 → f 1 = 1 2

Resposta

f 1 = 1 2